Номер 33.48, страница 163 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.48. Представьте в виде дроби выражение:

а) $ \frac{(x+2)^2}{2x-4} : (x^2+4x+4); $

б) $ \frac{(3a+2)^2}{3a-2} : (9a^2+12a+4). $

а)

Чтобы представить выражение в виде дроби, выполним деление. Исходное выражение:

$ \frac{(x+2)^2}{2x-4} : (x^2 + 4x + 4) $

Представим делитель $ (x^2 + 4x + 4) $ в виде дроби $ \frac{x^2 + 4x + 4}{1} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{(x+2)^2}{2x-4} \cdot \frac{1}{x^2 + 4x + 4} $

Теперь разложим на множители знаменатели дробей для возможного сокращения.

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2x - 4 = 2(x-2) $

Знаменатель второй дроби $ x^2 + 4x + 4 $ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $:

$ x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2 $

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$ \frac{(x+2)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{1}{(x+2)^2} $

Сократим одинаковые множители $ (x+2)^2 $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(x+2)^2}}{2(x-2)} \cdot \frac{1}{\cancel{(x+2)^2}} = \frac{1}{2(x-2)} $

Ответ: $ \frac{1}{2(x-2)} $

б)

Исходное выражение:

$ \frac{(3a+2)^2}{3a-2} : (9a^2 + 12a + 4) $

Действуем аналогично предыдущему пункту. Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{(3a+2)^2}{3a-2} \cdot \frac{1}{9a^2 + 12a + 4} $

Разложим на множители выражение $ 9a^2 + 12a + 4 $. Это полный квадрат суммы, так как $ 9a^2 = (3a)^2 $, $ 4 = 2^2 $ и $ 12a = 2 \cdot (3a) \cdot 2 $. Применяем формулу $ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $:

$ 9a^2 + 12a + 4 = (3a+2)^2 $

Подставим полученное выражение в наше произведение:

$ \frac{(3a+2)^2}{3a-2} \cdot \frac{1}{(3a+2)^2} $

Сократим общий множитель $ (3a+2)^2 $:

$ \frac{\cancel{(3a+2)^2}}{3a-2} \cdot \frac{1}{\cancel{(3a+2)^2}} = \frac{1}{3a-2} $

Ответ: $ \frac{1}{3a-2} $