Номер 34.4, страница 165 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.4. Представьте выражение $(\frac{5}{a} - \frac{3}{a^2}) : \frac{5a - 3}{a^2} + \frac{6}{a}$ в виде дроби, выполнив действия по порядку.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, соблюдая их приоритет: сначала действие в скобках, затем деление и в конце — сложение.

1. Выполним вычитание в скобках

Найдем разность дробей $ \frac{5}{a} $ и $ \frac{3}{a^2} $. Для этого приведем их к общему знаменателю $ a^2 $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ a $:

$ \frac{5}{a} - \frac{3}{a^2} = \frac{5 \cdot a}{a \cdot a} - \frac{3}{a^2} = \frac{5a}{a^2} - \frac{3}{a^2} = \frac{5a - 3}{a^2} $

2. Выполним деление

Теперь разделим результат первого действия на дробь $ \frac{5a - 3}{a^2} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{5a - 3}{a^2} : \frac{5a - 3}{a^2} = \frac{5a - 3}{a^2} \cdot \frac{a^2}{5a - 3} $

Так как мы делим выражение на само себя (при условии $ a \neq 0 $ и $ a \neq \frac{3}{5} $), результат равен 1.

$ \frac{5a - 3}{a^2} \cdot \frac{a^2}{5a - 3} = 1 $

3. Выполним сложение

К результату второго действия (то есть к 1) прибавим последнюю дробь из выражения: $ \frac{6}{a} $.

$ 1 + \frac{6}{a} $

Чтобы сложить, приведем 1 к дроби со знаменателем $ a $:

$ \frac{a}{a} + \frac{6}{a} = \frac{a + 6}{a} $

Таким образом, исходное выражение представлено в виде дроби.

Ответ: $ \frac{a + 6}{a} $