Номер 34.7, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.7. Представьте в виде дроби выражение:

а) $ \left(\frac{4a}{b} - \frac{36b}{a}\right) : \frac{ab}{a-3b}; $

б) $ \left(\frac{2}{b-a} - \frac{2}{a+b}\right) : \frac{ab}{a+b}. $

а)

Исходное выражение: $(\frac{4a}{b} - \frac{36b}{a}) \cdot \frac{ab}{a-3b}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{4a}{b} - \frac{36b}{a} = \frac{4a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{36b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{4a^2 - 36b^2}{ab}$

2. Разложим числитель полученной дроби на множители. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$4a^2 - 36b^2 = 4(a^2 - 9b^2) = 4(a^2 - (3b)^2) = 4(a-3b)(a+3b)$

3. Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{4(a-3b)(a+3b)}{ab}$

4. Теперь выполним умножение на вторую дробь и сократим общие множители:

$\frac{4(a-3b)(a+3b)}{ab} \cdot \frac{ab}{a-3b} = \frac{4\cancel{(a-3b)}(a+3b)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{a-3b}} = 4(a+3b)$

Ответ: $4(a+3b)$

б)

Исходное выражение: $(\frac{2}{b-a} - \frac{2}{a+b}) : \frac{ab}{a+b}$

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(b-a)(a+b)$:

$\frac{2}{b-a} - \frac{2}{a+b} = \frac{2(a+b)}{(b-a)(a+b)} - \frac{2(b-a)}{(b-a)(a+b)} = \frac{2(a+b) - 2(b-a)}{(b-a)(a+b)}$

2. Раскроем скобки и упростим числитель:

$2(a+b) - 2(b-a) = 2a + 2b - 2b + 2a = 4a$

3. Таким образом, выражение в скобках принимает вид:

$\frac{4a}{(b-a)(a+b)}$

4. Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{4a}{(b-a)(a+b)} : \frac{ab}{a+b} = \frac{4a}{(b-a)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab}$

5. Сократим общие множители $a$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4\cancel{a}}{(b-a)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a}b} = \frac{4}{b(b-a)}$

Ответ: $\frac{4}{b(b-a)}$