Номер 34.8, страница 166 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.8. Найдите значение выражения $ \left(\frac{1}{b+1} - \frac{2}{1-b^2}\right) : \frac{b}{b-1} + \frac{1}{b} $ при $b=2,5$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполняя действия по порядку: сначала в скобках, затем деление и сложение.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1}{b+1} - \frac{2}{1-b^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$1-b^2 = (1-b)(1+b)$.

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{1}{b+1} - \frac{2}{(1-b)(1+b)}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, вынесем знак минус из скобки $(1-b)$ во втором знаменателе: $1-b = -(b-1)$.

$\frac{1}{b+1} - \frac{2}{-(b-1)(1+b)} = \frac{1}{b+1} + \frac{2}{(b-1)(b+1)}$

Общий знаменатель для этих дробей — $(b-1)(b+1)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(b-1)$:

$\frac{1 \cdot (b-1)}{(b+1)(b-1)} + \frac{2}{(b-1)(b+1)} = \frac{b-1+2}{(b-1)(b+1)} = \frac{b+1}{(b-1)(b+1)}$

Сократим полученную дробь на $(b+1)$ (это возможно, так как по условию $b=2,5$, значит $b+1 \neq 0$):

$\frac{b+1}{(b-1)(b+1)} = \frac{1}{b-1}$

2. Теперь выполним деление результата первого действия на дробь $\frac{b}{b-1}$.

$\frac{1}{b-1} : \frac{b}{b-1}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{1}{b-1} \cdot \frac{b-1}{b}$

Сократим на $(b-1)$ (это возможно, так как $b=2,5$, значит $b-1 \neq 0$):

$\frac{1}{b-1} \cdot \frac{b-1}{b} = \frac{1}{b}$

3. Выполним последнее действие — сложение:

$\frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{1+1}{b} = \frac{2}{b}$

4. Мы упростили исходное выражение до вида $\frac{2}{b}$. Теперь подставим в него заданное значение $b = 2,5$.

$\frac{2}{2,5}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{2 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{20}{25}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0,8$

Ответ: $0,8$