Номер 34.30, страница 168 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.30. Упростите выражение $(m^{-2} - 2(mn)^{-1} + n^{-2}) \cdot (m - n)^{-1}$.

Для упрощения данного выражения последовательно выполним следующие действия.

1. Раскроем отрицательные степени в соответствии со свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Исходное выражение: $(m^{-2} - 2(mn)^{-1} + n^{-2}) \cdot (m - n)^{-1}$.

Преобразуем каждый член выражения:

$m^{-2} = \frac{1}{m^2}$

$2(mn)^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{mn} = \frac{2}{mn}$

$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$

$(m - n)^{-1} = \frac{1}{m-n}$

2. Подставим преобразованные члены обратно в выражение:

$(\frac{1}{m^2} - \frac{2}{mn} + \frac{1}{n^2}) \cdot \frac{1}{m-n}$

3. Упростим выражение в первых скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю $m^2n^2$.

$\frac{1 \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} - \frac{2 \cdot mn}{mn \cdot mn} + \frac{1 \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} = \frac{n^2}{m^2n^2} - \frac{2mn}{m^2n^2} + \frac{m^2}{m^2n^2}$

Объединим дроби:

$\frac{n^2 - 2mn + m^2}{m^2n^2}$

4. Заметим, что числитель $m^2 - 2mn + n^2$ является формулой квадрата разности: $(m-n)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(m-n)^2}{m^2n^2}$

5. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним умножение:

$\frac{(m-n)^2}{m^2n^2} \cdot \frac{1}{m-n}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(m-n)$:

$\frac{(m-n)^2}{(m^2n^2)(m-n)} = \frac{m-n}{m^2n^2}$

Это и есть окончательный упрощенный вид выражения.

Ответ: $\frac{m-n}{m^2n^2}$