Номер 34.29, страница 168 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.29. Упростите выражение

$\frac{a^2 - 2a + 5}{4a - 4} - \frac{a - 4b}{a^2 + 2} \cdot \left( \frac{3a^2}{a^2 - 4ab - a + 4b} - \frac{2a + 2}{a - 4b} \right).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{3a^2}{a^2 - 4ab - a + 4b} - \frac{2a + 2}{a - 4b} $

Для начала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя метод группировки:

$ a^2 - 4ab - a + 4b = a(a - 4b) - 1(a - 4b) = (a - 1)(a - 4b) $

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ (a - 1)(a - 4b) $:

$ \frac{3a^2}{(a - 1)(a - 4b)} - \frac{(2a + 2)(a - 1)}{(a - 1)(a - 4b)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{3a^2 - (2a + 2)(a - 1)}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2a + 2a - 2)}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2)}{(a - 1)(a - 4b)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{3a^2 - 2a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} = \frac{a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} $

2. Выполним умножение

Подставим полученное выражение в исходный пример:

$ \frac{a - 4b}{a^2 + 2} \cdot \left( \frac{a^2 + 2}{(a - 1)(a - 4b)} \right) $

Сократим общие множители $ (a - 4b) $ и $ (a^2 + 2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a - 4b}}{\cancel{a^2 + 2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 + 2}}{(a - 1)(\cancel{a - 4b})} = \frac{1}{a - 1} $

3. Выполним вычитание

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4a - 4} - \frac{1}{a - 1} $

Вынесем общий множитель 4 в знаменателе первой дроби и приведем к общему знаменателю $ 4(a - 1) $:

$ \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a - 1)} - \frac{1 \cdot 4}{4(a - 1)} = \frac{a^2 - 2a + 5 - 4}{4(a - 1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{4(a - 1)} $

Числитель $ a^2 - 2a + 1 $ является полным квадратом разности $ (a - 1)^2 $.

$ \frac{(a - 1)^2}{4(a - 1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a - 1) $:

$ \frac{a - 1}{4} $

Ответ: $ \frac{a-1}{4} $