Номер 33.37, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.37. Представьте целое рациональное выражение в виде

дроби и выполните действия:

а) $ \frac{x^2}{y} + y; $

б) $ \frac{(a-x)^2}{2a} + x. $

а) Чтобы сложить дробь и целое выражение, представим целое выражение $y$ в виде дроби со знаменателем 1: $y = \frac{y}{1}$.

$\frac{x^2}{y} + y = \frac{x^2}{y} + \frac{y}{1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y$. Для этого вторую дробь домножим на $y$:

$\frac{x^2}{y} + \frac{y \cdot y}{1 \cdot y} = \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{y}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями, сложив их числители:

$\frac{x^2 + y^2}{y}$

Ответ: $\frac{x^2 + y^2}{y}$

б) Представим целое выражение $x$ в виде дроби со знаменателем 1: $x = \frac{x}{1}$.

$\frac{(a-x)^2}{2a} + x = \frac{(a-x)^2}{2a} + \frac{x}{1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2a$. Для этого вторую дробь домножим на $2a$:

$\frac{(a-x)^2}{2a} + \frac{x \cdot 2a}{1 \cdot 2a} = \frac{(a-x)^2}{2a} + \frac{2ax}{2a}$

Сложим дроби, сложив их числители:

$\frac{(a-x)^2 + 2ax}{2a}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$\frac{(a^2 - 2ax + x^2) + 2ax}{2a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 - 2ax + 2ax + x^2}{2a} = \frac{a^2 + x^2}{2a}$

Ответ: $\frac{a^2 + x^2}{2a}$