Номер 33.36, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.36. Выполните действия:

а) $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$;

б) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{b}{a+b} + \frac{b}{b-a}$.

а) $ \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b} $

Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $ b^2-a^2 $ можно представить как $ -(a^2-b^2) $. В свою очередь, $ a^2-b^2 $ является разностью квадратов и раскладывается на множители $ (a-b)(a+b) $. Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$ \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} = \frac{a^2+b^2}{-(a^2-b^2)} = -\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $

Теперь все выражение выглядит так:

$ \frac{a}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b} $

Приведем первую и третью дроби к общему знаменателю $ (a-b)(a+b) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a+b) $, а третьей — на $ (a-b) $:

$ \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$ \frac{a(a+b) - (a^2+b^2) + a(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{a^2+ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab}{(a-b)(a+b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2-a^2+a^2) + (ab-ab) - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-b^2}{(a-b)(a+b)} $

Так как знаменатель $ (a-b)(a+b) $ равен $ a^2-b^2 $, получаем:

$ \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1 $

Ответ: 1

б) $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{b}{a+b} + \frac{b}{b-a} $

Найдем общий знаменатель. Знаменатель первой дроби $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Знаменатель третьей дроби $ b-a = -(a-b) $. Таким образом, общий знаменатель — $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

Преобразуем третью дробь:

$ \frac{b}{b-a} = \frac{b}{-(a-b)} = -\frac{b}{a-b} $

Перепишем исходное выражение:

$ \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{b}{a+b} - \frac{b}{a-b} $

Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a-b) $, а третьей — на $ (a+b) $:

$ \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} $

Объединим дроби, выполнив действия с числителями:

$ \frac{(a^2+b^2) + b(a-b) - b(a+b)}{(a-b)(a+b)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{a^2+b^2 + ab - b^2 - (ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2 + ab - b^2 - ab - b^2}{(a-b)(a+b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a^2 + (b^2-b^2-b^2) + (ab-ab)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} $

Так как $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $, получаем:

$ \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1 $

Ответ: 1