Номер 33.31, страница 161 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.31. Выполните вычитание рациональных дробей:

a)$\frac{2x}{2x - 6} - \frac{9}{x^2 - 3x}$;

б)$\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 2}{3x^2 - 3x}$.

а) Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей $\frac{2x}{2x-6} - \frac{9}{x^2-3x}$, сначала приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатели каждой дроби:
Знаменатель первой дроби: $2x - 6 = 2(x - 3)$.
Знаменатель второй дроби: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысшей степени. НОЗ = $2 \cdot x \cdot (x - 3) = 2x(x - 3)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $x$, а второй дроби — на $2$:
$\frac{2x}{2(x-3)} - \frac{9}{x(x-3)} = \frac{2x \cdot x}{2(x-3) \cdot x} - \frac{9 \cdot 2}{x(x-3) \cdot 2} = \frac{2x^2}{2x(x-3)} - \frac{18}{2x(x-3)}$.

4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{2x^2 - 18}{2x(x-3)}$.

5. Упростим полученное выражение. Вынесем в числителе общий множитель $2$ за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3)$.

6. Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{2(x-3)(x+3)}{2x(x-3)} = \frac{\cancel{2}(\cancel{x-3})(x+3)}{\cancel{2}x(\cancel{x-3})} = \frac{x+3}{x}$.

Ответ: $\frac{x+3}{x}$.

б) Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей $\frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{3x^2-3x}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатели дробей (знаменатель первой дроби уже разложен):
Знаменатель второй дроби: $3x^2 - 3x = 3x(x-1)$.

2. Найдем наименьший общий знаменатель. НОЗ = $3x(x-1)$.

3. Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $3x$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:
$\frac{1 \cdot 3x}{(x-1) \cdot 3x} - \frac{x+2}{3x(x-1)} = \frac{3x}{3x(x-1)} - \frac{x+2}{3x(x-1)}$.

4. Выполним вычитание дробей, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю:
$\frac{3x - (x+2)}{3x(x-1)} = \frac{3x - x - 2}{3x(x-1)} = \frac{2x-2}{3x(x-1)}$.

5. Упростим полученное выражение. Вынесем в числителе общий множитель $2$ за скобки:
$2x-2 = 2(x-1)$.

6. Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{2(x-1)}{3x(x-1)} = \frac{2(\cancel{x-1})}{3x(\cancel{x-1})} = \frac{2}{3x}$.

Ответ: $\frac{2}{3x}$.