Номер 33.35, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.35. Упростите выражение:

a) $ \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) : \frac{49a^2}{25x^3}; $

б) $ \frac{45m^3}{49p^2} \cdot \left(-\frac{56p^2}{27m^2}\right) : \frac{3m}{p}. $

а) Для упрощения выражения выполним последовательно все действия. Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) : \frac{49a^2}{25x^3} = \frac{28a^2}{27x^3} \cdot \left(-\frac{63x^4}{150a}\right) \cdot \frac{25x^3}{49a^2} $
Запишем все множители под одной дробной чертой, вынеся знак "минус" вперед:
$ -\frac{28a^2 \cdot 63x^4 \cdot 25x^3}{27x^3 \cdot 150a \cdot 49a^2} $
Теперь выполним сокращение. Сначала сократим числовые коэффициенты, разложив их на простые множители для удобства:
$ \frac{28 \cdot 63 \cdot 25}{27 \cdot 150 \cdot 49} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 7) \cdot 25}{(3 \cdot 9) \cdot (6 \cdot 25) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{4 \cdot 9 \cdot (7 \cdot 7) \cdot 25}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 25 \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{4}{3 \cdot 6} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $
Далее сократим переменные, используя свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$ \frac{a^2 x^4 x^3}{x^3 a a^2} = \frac{a^2 x^{4+3}}{a^{1+2} x^3} = \frac{a^2 x^7}{a^3 x^3} = \frac{x^{7-3}}{a^{3-2}} = \frac{x^4}{a} $
Объединяем полученные результаты, не забывая про знак "минус":
$ -\frac{2}{9} \cdot \frac{x^4}{a} = -\frac{2x^4}{9a} $

Ответ: $ -\frac{2x^4}{9a} $

б) Аналогично предыдущему заданию, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{45m^3}{49p^2} \cdot \left(-\frac{56p^2}{27m^2}\right) : \frac{3m}{p} = \frac{45m^3}{49p^2} \cdot \left(-\frac{56p^2}{27m^2}\right) \cdot \frac{p}{3m} $
Запишем все под одной дробной чертой и вынесем знак "минус":
$ -\frac{45m^3 \cdot 56p^2 \cdot p}{49p^2 \cdot 27m^2 \cdot 3m} $
Сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{45 \cdot 56}{49 \cdot 27 \cdot 3} = \frac{(5 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot (27) \cdot 3} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 81} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8}{7 \cdot 81} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 9} = \frac{40}{63} $
Сократим переменные:
$ \frac{m^3 \cdot p^2 \cdot p}{p^2 \cdot m^2 \cdot m} = \frac{m^3 p^{2+1}}{m^{2+1} p^2} = \frac{m^3 p^3}{m^3 p^2} = p^{3-2} = p $
Объединяем результаты:
$ -\frac{40}{63} \cdot p = -\frac{40p}{63} $

Ответ: $ -\frac{40p}{63} $