Номер 33.39, страница 162 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.39. Упростите выражение $\frac{x^2 - b^2}{bx - b^2} - \frac{bx^2 - 2bx + b}{b^2 - b^2x}$ и найдите его значение при $x = b + 0,5$.

Упростите выражение
Исходное выражение: $ \frac{x^2 - b^2}{bx - b^2} - \frac{bx^2 - 2bx + b}{b^2 - b^2x} $.
Сначала упростим каждую дробь по отдельности, разложив числители и знаменатели на множители.
Первая дробь:
$ \frac{x^2 - b^2}{bx - b^2} = \frac{(x-b)(x+b)}{b(x-b)} $.
Сокращаем на $(x-b)$, при условии что $x \neq b$:
$ \frac{x+b}{b} $.
Вторая дробь:
$ \frac{bx^2 - 2bx + b}{b^2 - b^2x} = \frac{b(x^2 - 2x + 1)}{b^2(1 - x)} = \frac{b(x-1)^2}{-b^2(x-1)} $.
Сокращаем на $b$ и $(x-1)$, при условии что $b \neq 0$ и $x \neq 1$:
$ \frac{x-1}{-b} = -\frac{x-1}{b} $.
Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
$ \frac{x+b}{b} - (-\frac{x-1}{b}) = \frac{x+b}{b} + \frac{x-1}{b} $.
Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:
$ \frac{x+b+x-1}{b} = \frac{2x+b-1}{b} $.
Ответ: $ \frac{2x+b-1}{b} $.

Найдите его значение при $x = b + 0,5$
Подставим значение $x = b + 0,5$ в упрощенное выражение $ \frac{2x+b-1}{b} $:
$ \frac{2(b+0,5)+b-1}{b} $.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{2b + 2 \cdot 0,5 + b - 1}{b} = \frac{2b + 1 + b - 1}{b} = \frac{3b}{b} $.
Сократим дробь на $b$. Это допустимо, так как в знаменателях исходного выражения $b$ является множителем, следовательно, $b \neq 0$.
$ \frac{3b}{b} = 3 $.
Ответ: 3.