Номер 33.25, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.25. Представьте в виде дроби выражение:

а) $\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot (x^2 - y^2);$

б) $\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} : (x^2 - y^2);$

в) $\frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} \cdot (4x^2 - y^2);$

г) $\frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} : (4x^2 - y^2).$

а) Чтобы представить выражение $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot (x^2-y^2) $ в виде дроби, воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
Применим ее к множителю $ (x^2-y^2) $: $ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) $.
Подставим полученное выражение в исходное: $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot (x-y)(x+y) $.
Теперь запишем все под одной дробной чертой и сгруппируем множители: $ \frac{(x-y)^2 \cdot (x-y) \cdot (x+y)}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^{2+1} \cdot (x+y)}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^3(x+y)}{(x+y)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (x+y) $: $ \frac{(x-y)^3}{(x+y)^{2-1}} = \frac{(x-y)^3}{x+y} $.
Ответ: $ \frac{(x-y)^3}{x+y} $

б) В выражении $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} : (x^2-y^2) $ заменим деление на умножение на обратное число (дробь): $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{1}{x^2-y^2} $.
Применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ к знаменателю второй дроби: $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{1}{(x-y)(x+y)} $.
Перемножим дроби: $ \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2 \cdot (x-y)(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)^{2+1}(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)^3(x-y)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (x-y) $: $ \frac{(x-y)^{2-1}}{(x+y)^3} = \frac{x-y}{(x+y)^3} $.
Ответ: $ \frac{x-y}{(x+y)^3} $

в) Чтобы представить выражение $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} \cdot (4x^2-y^2) $ в виде дроби, воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
Применим ее к множителю $ (4x^2-y^2) $, где $ a=2x $ и $ b=y $: $ 4x^2-y^2 = (2x)^2-y^2 = (2x-y)(2x+y) $.
Подставим полученное выражение в исходное: $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} \cdot (2x-y)(2x+y) $.
Запишем все под одной дробной чертой и сгруппируем множители: $ \frac{(2x+y)^2 \cdot (2x+y) \cdot (2x-y)}{(2x-y)^2} = \frac{(2x+y)^{2+1} \cdot (2x-y)}{(2x-y)^2} = \frac{(2x+y)^3(2x-y)}{(2x-y)^2} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (2x-y) $: $ \frac{(2x+y)^3}{(2x-y)^{2-1}} = \frac{(2x+y)^3}{2x-y} $.
Ответ: $ \frac{(2x+y)^3}{2x-y} $

г) В выражении $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} : (4x^2-y^2) $ заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} \cdot \frac{1}{4x^2-y^2} $.
Применим формулу разности квадратов $ 4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y) $ к знаменателю второй дроби: $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2} \cdot \frac{1}{(2x-y)(2x+y)} $.
Перемножим дроби: $ \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^2 \cdot (2x-y)(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^{2+1}(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2}{(2x-y)^3(2x+y)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (2x+y) $: $ \frac{(2x+y)^{2-1}}{(2x-y)^3} = \frac{2x+y}{(2x-y)^3} $.
Ответ: $ \frac{2x+y}{(2x-y)^3} $