Номер 33.21, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.21. Выполните сложение рациональных дробей:

a) $\frac{2c + 1}{c - 1} + \frac{c - 2}{1 - c};$

б) $\frac{2a + 1}{2a - 1} + \frac{a - 2}{1 - 2a}.$

а) $\frac{2c+1}{c-1} + \frac{c-2}{1-c}$

Для того чтобы сложить две рациональные дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. Обратим внимание на знаменатели данных дробей: $c-1$ и $1-c$. Эти выражения являются противоположными, так как $1-c = -(c-1)$.

Мы можем преобразовать вторую дробь, чтобы ее знаменатель стал $c-1$. Для этого вынесем $-1$ за скобки в знаменателе и поставим знак минус перед всей дробью:

$\frac{c-2}{1-c} = \frac{c-2}{-(c-1)} = -\frac{c-2}{c-1}$

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$\frac{2c+1}{c-1} - \frac{c-2}{c-1}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(2c+1) - (c-2)}{c-1} = \frac{2c+1-c+2}{c-1}$

Далее приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2c-c) + (1+2)}{c-1} = \frac{c+3}{c-1}$

Ответ: $\frac{c+3}{c-1}$

б) $\frac{2a+1}{2a-1} + \frac{a-2}{1-2a}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели $2a-1$ и $1-2a$ являются противоположными выражениями, поскольку $1-2a = -(2a-1)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя перед дробью, чтобы получить общий знаменатель $2a-1$:

$\frac{a-2}{1-2a} = \frac{a-2}{-(2a-1)} = -\frac{a-2}{2a-1}$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\frac{2a+1}{2a-1} - \frac{a-2}{2a-1}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(2a+1) - (a-2)}{2a-1} = \frac{2a+1-a+2}{2a-1}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$\frac{(2a-a) + (1+2)}{2a-1} = \frac{a+3}{2a-1}$

Ответ: $\frac{a+3}{2a-1}$