Номер 33.15, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.15. Найдите разность дробей:

а) $ \frac{b+2}{3a^2b} $ и $ \frac{a-3}{4ab^2} $;

б) $ \frac{2}{a+b} $ и $ \frac{2}{a-b} $.

а) Найдем разность дробей $\frac{b+2}{3a^2b}$ и $\frac{a-3}{4ab^2}$. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Выражение для вычисления разности: $\frac{b+2}{3a^2b} - \frac{a-3}{4ab^2}$.

Наименьший общий знаменатель для знаменателей $3a^2b$ и $4ab^2$ равен $12a^2b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12a^2b^2}{3a^2b} = 4b$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12a^2b^2}{4ab^2} = 3a$.

Выполним вычитание, умножив числители на соответствующие дополнительные множители:

$\frac{(b+2) \cdot 4b}{12a^2b^2} - \frac{(a-3) \cdot 3a}{12a^2b^2} = \frac{4b(b+2) - 3a(a-3)}{12a^2b^2} = \frac{4b^2 + 8b - (3a^2 - 9a)}{12a^2b^2} = \frac{4b^2 + 8b - 3a^2 + 9a}{12a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{4b^2 + 8b - 3a^2 + 9a}{12a^2b^2}$

б) Найдем разность дробей $\frac{2}{a+b}$ и $\frac{2}{a-b}$.

Выражение для вычисления разности: $\frac{2}{a+b} - \frac{2}{a-b}$.

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(a+b)(a-b)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2 - b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-b)$, а для второй — $(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{2(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a-b) - 2(a+b)}{a^2 - b^2} = \frac{2a - 2b - 2a - 2b}{a^2 - b^2} = \frac{-4b}{a^2 - b^2}$.

Ответ: $\frac{-4b}{a^2 - b^2}$