Номер 33.10, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.10. Найдите сумму рациональных дробей:

а) $\frac{a + 2}{4}$ и $\frac{a - 2}{8}$;

б) $\frac{5}{x}$ и $\frac{7}{y}$;

в) $\frac{b - 6}{6b}$ и $\frac{a + 4}{8a}$;

г) $\frac{12}{c^3 d^2}$ и $\frac{4}{c^2 d}$.

а)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{a+2}{4} $ и $ \frac{a-2}{8} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 8 это 8.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $ 2 $ ($8 \div 4 = 2$):

$ \frac{a+2}{4} = \frac{2 \cdot (a+2)}{2 \cdot 4} = \frac{2a+4}{8} $

Вторая дробь уже имеет знаменатель 8. Теперь сложим дроби:

$ \frac{2a+4}{8} + \frac{a-2}{8} = \frac{(2a+4) + (a-2)}{8} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{2a+4+a-2}{8} = \frac{3a+2}{8} $

Ответ: $ \frac{3a+2}{8} $

б)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{5}{x} $ и $ \frac{7}{y} $, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для $x$ и $y$ является их произведение $xy$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$.

$ \frac{5}{x} + \frac{7}{y} = \frac{5 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{7 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{5y}{xy} + \frac{7x}{xy} $

Сложим числители полученных дробей:

$ \frac{5y+7x}{xy} $

Ответ: $ \frac{5y+7x}{xy} $

в)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{b-6}{6b} $ и $ \frac{a+4}{8a} $, найдем для них наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное для выражений $6b$ и $8a$.

Наименьшее общее кратное для коэффициентов 6 и 8 равно 24. Наименьший общий знаменатель будет $24ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{24ab}{6b} = 4a $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{24ab}{8a} = 3b $.

Выполним сложение:

$ \frac{b-6}{6b} + \frac{a+4}{8a} = \frac{4a(b-6)}{24ab} + \frac{3b(a+4)}{24ab} $

Раскроем скобки в числителях:

$ \frac{4ab-24a}{24ab} + \frac{3ab+12b}{24ab} $

Сложим числители и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{4ab-24a+3ab+12b}{24ab} = \frac{7ab-24a+12b}{24ab} $

Ответ: $ \frac{7ab-24a+12b}{24ab} $

г)

Чтобы найти сумму дробей $ \frac{12}{c^3d^2} $ и $ \frac{4}{c^2d} $, приведем их к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя возьмем выражение, содержащее каждую переменную в наивысшей встречающейся степени. Таким образом, наименьший общий знаменатель это $c^3d^2$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{c^3d^2}{c^2d} = cd $.

Выполним сложение:

$ \frac{12}{c^3d^2} + \frac{4}{c^2d} = \frac{12}{c^3d^2} + \frac{4 \cdot cd}{c^2d \cdot cd} = \frac{12}{c^3d^2} + \frac{4cd}{c^3d^2} $

Сложим числители:

$ \frac{12+4cd}{c^3d^2} $

В числителе можно вынести за скобки общий множитель 4: $ \frac{4(3+cd)}{c^3d^2} $. Оба варианта записи ответа являются верными.

Ответ: $ \frac{12+4cd}{c^3d^2} $