Номер 33.3, страница 158 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.3. Приведите дроби к общему знаменателю:

а) $\frac{5a}{3b}$ и $\frac{11}{b^2}$;

б) $\frac{x}{3ab}$ и $\frac{y}{b^2}$;

В) $\frac{1}{b^3 c}$ и $\frac{1}{bc^3}$;

Г) $\frac{5a + c}{ca}$ и $\frac{5c + a}{5c^2}$.

а) Даны дроби $\frac{5a}{3b}$ и $\frac{11}{b^2}$.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели дробей: $3b$ и $b^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $3b^2$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОЗ на знаменатель каждой дроби.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{5a}{3b}$ равен $\frac{3b^2}{3b} = b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:
$\frac{5a}{3b} = \frac{5a \cdot b}{3b \cdot b} = \frac{5ab}{3b^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{11}{b^2}$ равен $\frac{3b^2}{b^2} = 3$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $3$:
$\frac{11}{b^2} = \frac{11 \cdot 3}{b^2 \cdot 3} = \frac{33}{3b^2}$.
Ответ: $\frac{5ab}{3b^2}$ и $\frac{33}{3b^2}$.

б) Даны дроби $\frac{x}{3ab}$ и $\frac{y}{b^2}$.
Знаменатели дробей: $3ab$ и $b^2$.
Найдем их наименьший общий знаменатель. НОК($3ab$, $b^2$).
Для числовых коэффициентов НОК(3, 1) = 3. Для переменных частей, берем каждую переменную в наивысшей встречающейся степени: $a^1$ и $b^2$.
Следовательно, НОЗ = $3ab^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{x}{3ab}$ равен $\frac{3ab^2}{3ab} = b$.
$\frac{x}{3ab} = \frac{x \cdot b}{3ab \cdot b} = \frac{xb}{3ab^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{y}{b^2}$ равен $\frac{3ab^2}{b^2} = 3a$.
$\frac{y}{b^2} = \frac{y \cdot 3a}{b^2 \cdot 3a} = \frac{3ay}{3ab^2}$.
Ответ: $\frac{xb}{3ab^2}$ и $\frac{3ay}{3ab^2}$.

в) Даны дроби $\frac{1}{b^3c}$ и $\frac{1}{bc^3}$.
Знаменатели дробей: $b^3c$ и $bc^3$.
Наименьший общий знаменатель - это НОК($b^3c$, $bc^3$). Берем каждую переменную в наивысшей степени: $b^3$ и $c^3$.
НОЗ = $b^3c^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{b^3c}$ равен $\frac{b^3c^3}{b^3c} = c^2$.
$\frac{1}{b^3c} = \frac{1 \cdot c^2}{b^3c \cdot c^2} = \frac{c^2}{b^3c^3}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{bc^3}$ равен $\frac{b^3c^3}{bc^3} = b^2$.
$\frac{1}{bc^3} = \frac{1 \cdot b^2}{bc^3 \cdot b^2} = \frac{b^2}{b^3c^3}$.
Ответ: $\frac{c^2}{b^3c^3}$ и $\frac{b^2}{b^3c^3}$.

г) Даны дроби $\frac{5a+c}{ca}$ и $\frac{5c+a}{5c^2}$.
Знаменатели дробей: $ca$ и $5c^2$.
Найдем их наименьший общий знаменатель. НОК($ca$, $5c^2$).
Для числовых коэффициентов НОК(1, 5) = 5. Для переменных частей, берем каждую переменную в наивысшей встречающейся степени: $a^1$ и $c^2$.
Следовательно, НОЗ = $5ac^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{5a+c}{ca}$ равен $\frac{5ac^2}{ca} = 5c$.
$\frac{5a+c}{ca} = \frac{(5a+c) \cdot 5c}{ca \cdot 5c} = \frac{5a \cdot 5c + c \cdot 5c}{5ac^2} = \frac{25ac+5c^2}{5ac^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{5c+a}{5c^2}$ равен $\frac{5ac^2}{5c^2} = a$.
$\frac{5c+a}{5c^2} = \frac{(5c+a) \cdot a}{5c^2 \cdot a} = \frac{5c \cdot a + a \cdot a}{5ac^2} = \frac{5ac+a^2}{5ac^2}$.
Ответ: $\frac{25ac+5c^2}{5ac^2}$ и $\frac{5ac+a^2}{5ac^2}$.