Номер 32.49, страница 157 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.49*. Найдите область определения выражения:

а) $\frac{\frac{1}{|a+1|} + 1}{a+1}$;

б) $\frac{1}{|x+1|+x^2}$.

а) Область определения выражения $ \frac{1}{\frac{|a+1|}{a+1}+1} $ находится из условий, при которых знаменатели дробей не обращаются в нуль.

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{|a+1|}{a+1} $ не должен быть равен нулю:
$ a+1 \neq 0 \implies a \neq -1 $.

2. Знаменатель всего выражения не должен быть равен нулю:
$ \frac{|a+1|}{a+1}+1 \neq 0 \implies \frac{|a+1|}{a+1} \neq -1 $.

Рассмотрим выражение $ \frac{|a+1|}{a+1} $ в зависимости от знака $ a+1 $.

• Если $ a+1 > 0 $ (то есть $ a > -1 $), то $ |a+1| = a+1 $. В этом случае дробь равна $ \frac{a+1}{a+1} = 1 $. Условие $ 1 \neq -1 $ выполняется.
• Если $ a+1 < 0 $ (то есть $ a < -1 $), то $ |a+1| = -(a+1) $. В этом случае дробь равна $ \frac{-(a+1)}{a+1} = -1 $. Условие $ -1 \neq -1 $ не выполняется, так как получается равенство. Следовательно, знаменатель всего выражения равен нулю, и эти значения $a$ не входят в область определения.

Объединяя все полученные условия ($ a \neq -1 $ и $ a > -1 $), мы приходим к выводу, что выражение определено только при $ a > -1 $.
Ответ: $ a \in (-1; +\infty) $.

б) Область определения выражения $ \frac{1}{|x+1|+x^2} $ находится из условия, что его знаменатель не равен нулю: $ |x+1|+x^2 \neq 0 $.

Рассмотрим уравнение $ |x+1|+x^2 = 0 $. Знаменатель представляет собой сумму двух слагаемых: $ |x+1| $ и $ x^2 $.
По определению модуля, $ |x+1| \ge 0 $ для любого действительного $ x $.
Квадрат любого действительного числа также неотрицателен: $ x^2 \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений: $ \begin{cases} |x+1| = 0 \\ x^2 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

• Из первого уравнения: $ x+1 = 0 \implies x = -1 $.
• Из второго уравнения: $ x = 0 $.

Система не имеет решений, так как переменная $ x $ не может одновременно принимать значения $ -1 $ и $ 0 $. Это означает, что не существует такого значения $ x $, при котором знаменатель $ |x+1|+x^2 $ обращается в ноль. Фактически, он всегда строго положителен. Следовательно, исходное выражение определено для всех действительных чисел.
Ответ: $ x $ — любое действительное число, или $ x \in (-\infty; +\infty) $.