Номер 32.43, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.43*. Постройте график функции:

а) $y = \frac{(x-1)^2}{x-1}$;

б) $y = \frac{(2x-x^2)^2}{x^3+2x^2}$.

а) $y = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Теперь, для всех $x$ из области определения, мы можем упростить выражение функции, сократив дробь на $(x-1)$:

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1} = x-1$

Таким образом, график исходной функции — это график линейной функции $y = x-1$, но с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x=1$, которое не входит в область определения.

Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x=1$ в уравнение прямой $y=x-1$:

$y = 1 - 1 = 0$

Значит, точка с координатами $(1, 0)$ не принадлежит графику.

Для построения графика прямой $y = x-1$ достаточно двух точек. Например:

• при $x=0$, $y = 0-1 = -1$, точка $(0, -1)$;
• при $x=2$, $y = 2-1 = 1$, точка $(2, 1)$.

Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(1, 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-1$ с выколотой точкой $(1, 0)$.

б) $y = \frac{(2x-x^2)^2}{x^3+2x^2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^3+2x^2 \neq 0$

$x^2(x+2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x^2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Теперь упростим выражение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{(x(2-x))^2}{x^2(x+2)} = \frac{x^2(2-x)^2}{x^2(x+2)}$

Учитывая, что $(2-x)^2 = (-(x-2))^2 = (x-2)^2$, получаем:

$y = \frac{x^2(x-2)^2}{x^2(x+2)}$

При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь на $x^2$:

$y = \frac{(x-2)^2}{x+2}$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \frac{(x-2)^2}{x+2}$ и учесть, что точка с абсциссой $x=0$ должна быть выколота.

Найдем координаты выколотой точки. Подставим $x=0$ в упрощенное выражение:

$y = \frac{(0-2)^2}{0+2} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, точка $(0, 2)$ не принадлежит графику.

Исследуем функцию $y = \frac{(x-2)^2}{x+2}$ для построения графика:

• Вертикальная асимптота. Знаменатель $x+2$ обращается в ноль при $x=-2$, а числитель при этом значении не равен нулю. Значит, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой графика.
• Пересечение с осями координат.
  • С осью OY: пересечения нет, так как $x \neq 0$. График проходит через выколотую точку $(0, 2)$.
  • С осью OX: $y=0 \implies \frac{(x-2)^2}{x+2}=0 \implies (x-2)^2=0 \implies x=2$. Точка пересечения (и касания) — $(2, 0)$.
• Наклонная асимптота. Степень числителя ($2$) на единицу больше степени знаменателя ($1$), поэтому у графика есть наклонная асимптота. Найдем ее, выделив целую часть дроби:

$y = \frac{x^2-4x+4}{x+2} = \frac{(x^2+2x) - 6x - 12 + 16}{x+2} = \frac{x(x+2)-6(x+2)+16}{x+2} = x-6+\frac{16}{x+2}$

При $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{16}{x+2} \to 0$, значит, график функции приближается к прямой $y=x-6$. Это и есть наклонная асимптота.

График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=-2$. Ветви приближаются к вертикальной и наклонной ($y=x-6$) асимптотам. Правая ветвь касается оси Ox в точке $(2,0)$ и имеет разрыв в точке $(0,2)$.

Ответ: Графиком функции является кривая $y = \frac{(x-2)^2}{x+2}$, имеющая вертикальную асимптоту $x=-2$, наклонную асимптоту $y=x-6$ и выколотую точку $(0, 2)$.