Номер 32.41, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.41*. При каких значениях переменной выражение $ \frac{3}{5+\frac{1}{(x-1)^2}} $ имеет смысл?

$2 - \frac{1}{}$

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели, присутствующие в нем, не обращались в ноль.

Рассмотрим выражение: $ \frac{3}{5+\frac{1}{(x-1)^2}} $

В этом выражении есть два знаменателя, которые могут наложить ограничения на значения переменной $x$:

1. Знаменатель внутренней дроби: $ (x-1)^2 $.
2. Знаменатель основной, "большой" дроби: $ 5+\frac{1}{(x-1)^2} $.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Знаменатель $ (x-1)^2 $ не должен быть равен нулю.

$ (x-1)^2 \neq 0 $

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$ x - 1 \neq 0 $

$ x \neq 1 $

Это первое ограничение.

2. Знаменатель $ 5+\frac{1}{(x-1)^2} $ также не должен быть равен нулю.

$ 5+\frac{1}{(x-1)^2} \neq 0 $

Проанализируем левую часть этого неравенства. Выражение $ (x-1)^2 $ является квадратом числа. Для любого действительного $x$, $ (x-1)^2 \ge 0 $. Учитывая наше первое ограничение ($x \neq 1$), мы можем утверждать, что $ (x-1)^2 $ всегда строго больше нуля: $ (x-1)^2 > 0 $.

Следовательно, величина $ \frac{1}{(x-1)^2} $ также всегда будет строго положительной.

Таким образом, выражение $ 5+\frac{1}{(x-1)^2} $ представляет собой сумму числа 5 и положительного числа. Эта сумма всегда будет больше 5, и, следовательно, никогда не будет равна нулю.

$ 5+\frac{1}{(x-1)^2} > 5 > 0 $

Это означает, что второе условие выполняется для всех $x$, для которых определена дробь $ \frac{1}{(x-1)^2} $, то есть для всех $ x \neq 1 $.

Объединяя все условия, мы получаем, что единственным ограничением для данного выражения является $ x \neq 1 $.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях переменной, кроме $x=1$.