Номер 32.47, страница 157 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.47* Найдите, при каких значениях переменной выражение $\frac{4}{x^3 - x^2 + 2x - 2}$ не имеет смысла.

32.47*.

Данное выражение представляет собой дробь. Дробное выражение не имеет смысла тогда и только тогда, когда его знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых выражение не имеет смысла, необходимо приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение:

$x^3 - x^2 + 2x - 2 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод разложения на множители путем группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - x^2) + (2x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - 1) + 2(x - 1) = 0$

Мы получили общий множитель $(x - 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(x - 1)(x^2 + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 1 = 0$

$x = 1$

2) $x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), а -2 — отрицательное число.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором знаменатель дроби обращается в ноль, является $x = 1$.

Ответ: выражение не имеет смысла при $x = 1$.