Номер 32.40, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.40. Сравните области определения выражений $ \frac{1}{x^2 + 2} $ и $ \frac{x^2 + 2}{(x^2 + 2)(x - 2)} $.

Для сравнения областей определения двух выражений необходимо найти область определения для каждого из них.

1. Область определения выражения $\frac{1}{x^2 + 2}$
Данное выражение является дробью. Его область определения — это множество всех значений переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$: $x^2 + 2 = 0$ $x^2 = -2$ Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), и, следовательно, выражение $x^2 + 2$ всегда больше или равно 2. Поскольку знаменатель никогда не обращается в ноль, выражение определено для любых действительных значений $x$.
Ответ: Область определения первого выражения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область определения выражения $\frac{x^2 + 2}{(x^2 + 2)(x - 2)}$
Это выражение также является дробью. Важно помнить, что область определения находится для исходного выражения, до каких-либо сокращений. Знаменатель не должен быть равен нулю: $(x^2 + 2)(x - 2) \neq 0$ Произведение не равно нулю, если каждый из его множителей не равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно: 1) $x^2 + 2 \neq 0$. Как было установлено в предыдущем пункте, это условие выполняется для всех действительных чисел. 2) $x - 2 \neq 0$. Это неравенство выполняется при $x \neq 2$. Следовательно, единственное значение переменной, которое нужно исключить из области определения, — это $x=2$.
Ответ: Область определения второго выражения — все действительные числа, кроме 2, то есть $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Сравнение областей определения
Область определения первого выражения — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Область определения второго выражения — это множество всех действительных чисел, за исключением точки $x=2$, то есть $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Очевидно, что эти области определения не совпадают. Область определения второго выражения является подмножеством области определения первого. Область определения первого выражения шире, так как она содержит точку $x=2$, которая не входит в область определения второго выражения.
Ответ: Области определения данных выражений не совпадают. Область определения выражения $\frac{1}{x^2 + 2}$ шире, чем область определения выражения $\frac{x^2 + 2}{(x^2 + 2)(x - 2)}$.