Номер 32.39, страница 156 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.39. Сократите дробь $\frac{c - a + c^2 - a^2}{c + a + c^2 + 2ac + a^2}$ и найдите ее значение при $a = 6,73$, $c = 3,27$.

Для решения задачи необходимо сначала выполнить алгебраические преобразования, чтобы сократить дробь, а затем подставить числовые значения и вычислить результат.

1. Сокращение дроби

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности и разложим их на множители.

Числитель: $c - a + c^2 - a^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(c - a) + (c^2 - a^2)$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ ко второму слагаемому:
$(c - a) + (c - a)(c + a)$.
Теперь вынесем общий множитель $(c - a)$ за скобки:
$(c - a)(1 + (c + a)) = (c - a)(1 + c + a)$.

Знаменатель: $c + a + c^2 + 2ac + a^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(c + a) + (c^2 + 2ac + a^2)$.
Заметим, что выражение в скобках $c^2 + 2ac + a^2$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(c + a) + (c + a)^2$.
Теперь вынесем общий множитель $(c + a)$ за скобки:
$(c + a)(1 + (c + a)) = (c + a)(1 + c + a)$.

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{c - a + c^2 - a^2}{c + a + c^2 + 2ac + a^2} = \frac{(c - a)(1 + c + a)}{(c + a)(1 + c + a)}$.
Сокращаем на общий множитель $(1 + c + a)$, так как он не равен нулю при заданных значениях $a$ и $c$.
В результате получаем упрощенную дробь: $\frac{c - a}{c + a}$.

2. Нахождение значения выражения

Подставим заданные значения $a = 6,73$ и $c = 3,27$ в сокращенную дробь:

$\frac{c - a}{c + a} = \frac{3,27 - 6,73}{3,27 + 6,73}$

Вычислим значение числителя: $3,27 - 6,73 = -3,46$.

Вычислим значение знаменателя: $3,27 + 6,73 = 10$.

Найдем значение дроби:

$\frac{-3,46}{10} = -0,346$.

Ответ: сокращенная дробь: $\frac{c - a}{c + a}$; значение выражения: -0,346.