Номер 32.33, страница 155 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.33. Разложите на множители квадратный трехчлен в числителе и знаменателе дроби и сократите дробь:

а) $ \frac{9x^2 - 6x + 1}{6x^2 + x - 1} $;

б) $ \frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1} $.

а) $\frac{9x^2 - 6x + 1}{6x^2 + x - 1}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.

1. Разложим на множители числитель: $9x^2 - 6x + 1$.
Данное выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Здесь $a^2 = (3x)^2$ и $b^2 = 1^2$. Средний член $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$.
Следовательно, $9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $6x^2 + x - 1$.
Для этого приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения $6x^2 + x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Используя формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, получаем:
$6x^2 + x - 1 = 6(x - \frac{1}{3})(x - (-\frac{1}{2})) = 6(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{2}) = (3 \cdot (x - \frac{1}{3})) \cdot (2 \cdot (x + \frac{1}{2})) = (3x - 1)(2x + 1)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим:
$\frac{9x^2 - 6x + 1}{6x^2 + x - 1} = \frac{(3x - 1)^2}{(3x - 1)(2x + 1)} = \frac{3x - 1}{2x + 1}$.
(Сокращение возможно при $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$).

Ответ: $\frac{3x - 1}{2x + 1}$.

б) $\frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1}$

1. Разложим на множители числитель: $8x^2 - 2x - 1$.
Найдем корни уравнения $8x^2 - 2x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.
Разложение: $8x^2 - 2x - 1 = 8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4}) = (2 \cdot (x - \frac{1}{2})) \cdot (4 \cdot (x + \frac{1}{4})) = (2x - 1)(4x + 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $16x^2 + 8x + 1$.
Это выражение является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Здесь $a^2 = (4x)^2$ и $b^2 = 1^2$. Средний член $2ab = 2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x$.
Следовательно, $16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2$.

3. Подставим полученные разложения в дробь и сократим:
$\frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1} = \frac{(2x - 1)(4x + 1)}{(4x + 1)^2} = \frac{2x - 1}{4x + 1}$.
(Сокращение возможно при $4x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{4}$).

Ответ: $\frac{2x - 1}{4x + 1}$.