Номер 32.31, страница 155 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.31. Упростите выражение $ \frac{1225a^2 - b^2}{35ab - b^2} $ и найдите его значение при $ a = 6, b = 7 $.

Упростите выражение $\frac{1225a^2 - b^2}{35ab - b^2}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Разложение числителя.

Числитель $1225a^2 - b^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x^2 = 1225a^2$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень: $x = \sqrt{1225a^2} = \sqrt{1225} \cdot \sqrt{a^2} = 35a$.

Для $y^2 = b^2$, соответственно, $y = b$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители:

$1225a^2 - b^2 = (35a - b)(35a + b)$.

2. Разложение знаменателя.

В знаменателе $35ab - b^2$ можно вынести общий множитель $b$ за скобки:

$35ab - b^2 = b(35a - b)$.

3. Упрощение дроби.

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{1225a^2 - b^2}{35ab - b^2} = \frac{(35a - b)(35a + b)}{b(35a - b)}$

Сократим общий множитель $(35a - b)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $35a - b \neq 0$.

$\frac{\cancel{(35a - b)}(35a + b)}{b\cancel{(35a - b)}} = \frac{35a + b}{b}$.

Ответ: $\frac{35a + b}{b}$.

и найдите его значение при $a = 6, b = 7$

Теперь необходимо подставить заданные значения $a = 6$ и $b = 7$ в полученное упрощенное выражение $\frac{35a + b}{b}$.

1. Проверка условия сокращения.

Убедимся, что условие $35a - b \neq 0$ выполняется при данных значениях:

$35 \cdot 6 - 7 = 210 - 7 = 203$.

Так как $203 \neq 0$, наше упрощение было корректным.

2. Вычисление значения.

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенную дробь:

$\frac{35a + b}{b} = \frac{35 \cdot 6 + 7}{7}$

Выполним вычисления в числителе:

$35 \cdot 6 + 7 = 210 + 7 = 217$.

Теперь выполним деление:

$\frac{217}{7} = 31$.

Ответ: 31.