Номер 33.13, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.13. Верно ли, что при делении дроби $\frac{a}{b}$ на $\frac{a^2}{b^2}$ получится:

а) $\frac{a}{b}$;

б) $\frac{b}{a}$?

Чтобы проверить утверждения, необходимо выполнить деление дроби $ \frac{a}{b} $ на дробь $ \frac{a^2}{b^2} $. Для того чтобы дроби имели смысл, будем считать, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $.

Согласно правилу деления дробей, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную (перевернутую) второй:

$ \frac{a}{b} \div \frac{a^2}{b^2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{a^2} $

Выполним умножение, перемножив числители и знаменатели дробей:

$ \frac{a \cdot b^2}{b \cdot a^2} $

Теперь сократим полученную дробь. Для этого представим $a^2$ как $a \cdot a$ и $b^2$ как $b \cdot b$:

$ \frac{a \cdot b \cdot b}{b \cdot a \cdot a} $

Сократим общие множители $a$ и $b$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b}{\cancel{b} \cdot \cancel{a} \cdot a} = \frac{b}{a} $

Результатом деления является дробь $ \frac{b}{a} $. Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами.

а)

Утверждается, что в результате деления получится $ \frac{a}{b} $. Наш результат $ \frac{b}{a} $. В общем случае $ \frac{a}{b} \neq \frac{b}{a} $. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: нет.

б)

Утверждается, что в результате деления получится $ \frac{b}{a} $. Этот результат совпадает с полученным нами в ходе вычислений. Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да.