Номер 33.11, страница 159 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.11. Найдите разность рациональных дробей:

а) $ \frac{a+2}{4} $ и $ \frac{a-2}{8} $;

б) $ \frac{5}{x} $ и $ \frac{7}{y} $;

в) $ \frac{b-6}{6b} $ и $ \frac{a+4}{8a} $;

г) $ \frac{12}{c^3d^2} $ и $ \frac{4}{c^2d} $.

а) Чтобы найти разность дробей $\frac{a+2}{4}$ и $\frac{a-2}{8}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 8 является 8. Дополнительный множитель для первой дроби равен $8 / 4 = 2$.
$\frac{a+2}{4} - \frac{a-2}{8} = \frac{2(a+2)}{8} - \frac{a-2}{8}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:
$\frac{2(a+2) - (a-2)}{8} = \frac{2a + 4 - a + 2}{8} = \frac{a+6}{8}$
Ответ: $\frac{a+6}{8}$

б) Чтобы найти разность дробей $\frac{5}{x}$ и $\frac{7}{y}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для $x$ и $y$ является их произведение $xy$. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$.
$\frac{5}{x} - \frac{7}{y} = \frac{5y}{xy} - \frac{7x}{xy}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{5y - 7x}{xy}$
Ответ: $\frac{5y-7x}{xy}$

в) Чтобы найти разность дробей $\frac{b-6}{6b}$ и $\frac{a+4}{8a}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для чисел 6 и 8 наименьшее общее кратное равно 24. Для переменных $a$ и $b$ — $ab$. Таким образом, общий знаменатель равен $24ab$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{24ab}{6b} = 4a$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{24ab}{8a} = 3b$.
Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем:
$\frac{b-6}{6b} - \frac{a+4}{8a} = \frac{4a(b-6)}{24ab} - \frac{3b(a+4)}{24ab} = \frac{4a(b-6) - 3b(a+4)}{24ab}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{4ab - 24a - (3ab + 12b)}{24ab} = \frac{4ab - 24a - 3ab - 12b}{24ab} = \frac{ab - 24a - 12b}{24ab}$
Ответ: $\frac{ab - 24a - 12b}{24ab}$

г) Чтобы найти разность дробей $\frac{12}{c^3d^2}$ и $\frac{4}{c^2d}$, найдем общий знаменатель. Для этого для каждой переменной берем наибольшую степень, в которой она встречается в знаменателях. Общий знаменатель будет $c^3d^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{c^3d^2}{c^2d} = cd$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{12}{c^3d^2} - \frac{4}{c^2d} = \frac{12}{c^3d^2} - \frac{4 \cdot cd}{c^2d \cdot cd} = \frac{12}{c^3d^2} - \frac{4cd}{c^3d^2}$
Вычтем числители:
$\frac{12 - 4cd}{c^3d^2}$
В числителе можно вынести за скобки общий множитель 4:
$\frac{4(3-cd)}{c^3d^2}$
Ответ: $\frac{4(3-cd)}{c^3d^2}$