Номер 33.22, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.22. Выполните действия:

а) $3a^2b \cdot \frac{2b}{9a^3}$;

б) $(x+y)^2 : \frac{x+y}{x-y}$;

В) $28a^2x \cdot \frac{xy^2}{4a^3}$;

Г) $(ax+a^3) : \frac{a(a^2+x)}{a+x}$.

а) Чтобы выполнить умножение, представим первый множитель в виде дроби, а затем перемножим числители и знаменатели дробей:
$3a^2b \cdot \frac{2b}{9a^3} = \frac{3a^2b}{1} \cdot \frac{2b}{9a^3} = \frac{3a^2b \cdot 2b}{9a^3} = \frac{6a^2b^2}{9a^3}$.
Теперь сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 6 и 9 сокращаются на 3. Переменные в степенях сокращаются по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, поэтому $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$\frac{6a^2b^2}{9a^3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2}{3 \cdot 3 \cdot a^3} = \frac{2b^2}{3a}$.
Ответ: $\frac{2b^2}{3a}$

б) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$(x+y)^2 : \frac{x+y}{x-y} = (x+y)^2 \cdot \frac{x-y}{x+y}$.
Запишем выражение в виде одной дроби и сократим общий множитель $(x+y)$:
$\frac{(x+y)^2(x-y)}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)(x-y)}{(x+y)} = (x+y)(x-y)$.
Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$

в) Представим первый множитель в виде дроби и выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:
$28a^2x \cdot \frac{xy^2}{4a^3} = \frac{28a^2x}{1} \cdot \frac{xy^2}{4a^3} = \frac{28a^2x \cdot xy^2}{4a^3} = \frac{28a^2x^2y^2}{4a^3}$.
Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты 28 и 4 на 4. Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$.
$\frac{28a^2x^2y^2}{4a^3} = \frac{7 \cdot 4 \cdot a^2 \cdot x^2y^2}{4 \cdot a^3} = \frac{7x^2y^2}{a}$.
Ответ: $\frac{7x^2y^2}{a}$

г) Для выполнения деления заменим его на умножение на обратную дробь. Также в делимом $(ax + a^3)$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$(ax + a^3) : \frac{a(a^2+x)}{a+x} = a(x + a^2) \cdot \frac{a+x}{a(a^2+x)}$.
Запишем все в виде одной дроби. Заметим, что $x+a^2$ и $a^2+x$ - это одно и то же выражение.
$\frac{a(a^2+x)(a+x)}{a(a^2+x)}$.
Сократим общие множители $a$ и $(a^2+x)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a}\cancel{(a^2+x)}(a+x)}{\cancel{a}\cancel{(a^2+x)}} = a+x$.
Ответ: $a+x$