Номер 33.23, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.23. Запишите в виде дроби:

а) $\frac{3x+1}{x^2-6x+9} + \frac{2}{3-x};$

б) $\frac{3x+2}{25x^2-16} - \frac{1}{5x-4};$

В) $\frac{5x+1}{25x^2-10x+1} + \frac{2}{1-5x};$

Г) $\frac{7x+2}{49x^2-4} - \frac{1}{2-7x}.$

а) $ \frac{3x+1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{2}{3-x} $

Сначала разложим на множители знаменатели дробей. Знаменатель первой дроби является полным квадратом разности, а во второй дроби вынесем минус за скобки:

$ x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 $

$ 3 - x = -(x-3) $

Перепишем выражение, изменив знак перед второй дробью:

$ \frac{3x+1}{(x-3)^2} + \frac{2}{-(x-3)} = \frac{3x+1}{(x-3)^2} - \frac{2}{x-3} $

Общий знаменатель для этих дробей – $ (x-3)^2 $. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (x-3) $:

$ \frac{3x+1}{(x-3)^2} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x-3)} = \frac{3x+1-2(x-3)}{(x-3)^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3x+1-2x+6}{(x-3)^2} = \frac{x+7}{(x-3)^2} $

Ответ: $ \frac{x+7}{(x-3)^2} $.

б) $ \frac{3x+2}{25x^2 - 16} - \frac{1}{5x-4} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x-4)(5x+4) $

Перепишем выражение:

$ \frac{3x+2}{(5x-4)(5x+4)} - \frac{1}{5x-4} $

Общий знаменатель – $ (5x-4)(5x+4) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (5x+4) $:

$ \frac{3x+2}{(5x-4)(5x+4)} - \frac{1 \cdot (5x+4)}{(5x-4)(5x+4)} = \frac{3x+2-(5x+4)}{(5x-4)(5x+4)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3x+2-5x-4}{(5x-4)(5x+4)} = \frac{-2x-2}{(5x-4)(5x+4)} = \frac{-2(x+1)}{25x^2 - 16} $

Ответ: $ \frac{-2(x+1)}{25x^2 - 16} $.

в) $ \frac{5x+1}{25x^2 - 10x + 1} + \frac{2}{1-5x} $

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби – это полный квадрат разности, а во второй вынесем минус за скобки:

$ 25x^2 - 10x + 1 = (5x-1)^2 $

$ 1 - 5x = -(5x-1) $

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение и изменим знак перед второй дробью:

$ \frac{5x+1}{(5x-1)^2} + \frac{2}{-(5x-1)} = \frac{5x+1}{(5x-1)^2} - \frac{2}{5x-1} $

Общим знаменателем будет $ (5x-1)^2 $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее на $ (5x-1) $:

$ \frac{5x+1}{(5x-1)^2} - \frac{2(5x-1)}{(5x-1)(5x-1)} = \frac{5x+1-2(5x-1)}{(5x-1)^2} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{5x+1-10x+2}{(5x-1)^2} = \frac{-5x+3}{(5x-1)^2} $

Ответ: $ \frac{3-5x}{(5x-1)^2} $.

г) $ \frac{7x+2}{49x^2 - 4} - \frac{1}{2-7x} $

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов. В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки, чтобы изменить знак перед дробью.

$ 49x^2 - 4 = (7x)^2 - 2^2 = (7x-2)(7x+2) $

$ 2 - 7x = -(7x-2) $

Перепишем выражение:

$ \frac{7x+2}{(7x-2)(7x+2)} - \frac{1}{-(7x-2)} = \frac{7x+2}{(7x-2)(7x+2)} + \frac{1}{7x-2} $

Общий знаменатель – $ (7x-2)(7x+2) $. Домножим вторую дробь на недостающий множитель $ (7x+2) $:

$ \frac{7x+2}{(7x-2)(7x+2)} + \frac{1 \cdot (7x+2)}{(7x-2)(7x+2)} = \frac{7x+2+7x+2}{(7x-2)(7x+2)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{14x+4}{(7x-2)(7x+2)} = \frac{2(7x+2)}{(7x-2)(7x+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (7x+2) $:

$ \frac{2}{7x-2} $

Ответ: $ \frac{2}{7x-2} $.