Номер 32.22, страница 154 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.22. Сократите дробь:

а) $\frac{170a^5b^3c^2}{68a^4b^2c^3};$

б) $\frac{17a^3b^2c}{68ab^2c^3};$

в) $\frac{0,1mn}{0,2m^2n^2};$

г) $\frac{0,3m^3n^4}{0,2m^2n^2}.$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{170a^5b^3c^2}{68a^4b^2c^3} $, мы сокращаем числовые коэффициенты и степени переменных по отдельности.

Сначала сократим коэффициенты $ \frac{170}{68} $. Найдем их наибольший общий делитель. Разложим числа на простые множители: $ 170 = 2 \cdot 5 \cdot 17 $ и $ 68 = 2^2 \cdot 17 $. Наибольший общий делитель (НОД) равен $ 2 \cdot 17 = 34 $.

$ \frac{170}{68} = \frac{170 \div 34}{68 \div 34} = \frac{5}{2} $.

Теперь сократим переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^5}{a^4} = a^{5-4} = a^1 = a $

$ \frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b $

$ \frac{c^2}{c^3} = c^{2-3} = c^{-1} = \frac{1}{c} $

Объединяем все полученные части: $ \frac{5}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{1}{c} = \frac{5ab}{2c} $.

Ответ: $ \frac{5ab}{2c} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{17a^3b^2c}{68ab^2c^3} $, поступим аналогично предыдущему пункту.

Сократим коэффициенты: $ \frac{17}{68} $. Так как $ 68 = 4 \cdot 17 $, то $ \frac{17}{68} = \frac{1 \cdot 17}{4 \cdot 17} = \frac{1}{4} $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $

$ \frac{b^2}{b^2} = b^{2-2} = b^0 = 1 $

$ \frac{c}{c^3} = \frac{c^1}{c^3} = \frac{1}{c^{3-1}} = \frac{1}{c^2} $

Объединяем все части: $ \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^2} = \frac{a^2}{4c^2} $.

Ответ: $ \frac{a^2}{4c^2} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{0,1mn}{0,2m^2n^2} $, сначала избавимся от десятичных дробей в коэффициентах, умножив числитель и знаменатель на 10.

$ \frac{0,1}{0,2} = \frac{0,1 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{1}{2} $.

Сократим переменные:

$ \frac{m}{m^2} = \frac{m^1}{m^2} = \frac{1}{m^{2-1}} = \frac{1}{m} $

$ \frac{n}{n^2} = \frac{n^1}{n^2} = \frac{1}{n^{2-1}} = \frac{1}{n} $

Объединяем все части: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2mn} $.

Ответ: $ \frac{1}{2mn} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{0,3m^3n^4}{0,2m^2n^2} $, сначала упростим коэффициенты, умножив числитель и знаменатель на 10.

$ \frac{0,3}{0,2} = \frac{0,3 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{3}{2} $.

Сократим переменные:

$ \frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m^1 = m $

$ \frac{n^4}{n^2} = n^{4-2} = n^2 $

Объединяем все части: $ \frac{3}{2} \cdot m \cdot n^2 = \frac{3mn^2}{2} $.

Ответ: $ \frac{3mn^2}{2} $