Номер 32.20, страница 154 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.20. Определите одночлен наибольшей степени, на который можно сократить дробь, и сократите дробь:

а) $ \frac{4a^5b^2}{8a^4b^3} $;

б) $ \frac{4abc}{12a^3bc} $;

в) $ \frac{24a^3b^2}{8ab^3} $;

г) $ \frac{45abc}{12a^2b} $;

д) $ \frac{30xy^2}{15x^4y^5} $;

е) $ \frac{48x^3y^3z^3}{12xy^2z^3} $;

ж) $ \frac{3xy^2}{15x^2y} $;

з) $ \frac{5xyz}{12xy^2z^3} $.

а) Чтобы определить одночлен наибольшей степени, на который можно сократить дробь $\frac{4a^5b^2}{8a^4b^3}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
1. НОД для коэффициентов 4 и 8 равен 4.
2. Для переменной $a$ берем наименьшую степень из $a^5$ и $a^4$, то есть $a^4$.
3. Для переменной $b$ берем наименьшую степень из $b^2$ и $b^3$, то есть $b^2$.
Одночлен для сокращения: $4a^4b^2$.
Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на этот одночлен:
$\frac{4a^5b^2}{8a^4b^3} = \frac{4a^4b^2 \cdot a}{4a^4b^2 \cdot 2b} = \frac{a}{2b}$.
Ответ: одночлен $4a^4b^2$; сокращенная дробь $\frac{a}{2b}$.

б) Для дроби $\frac{4abc}{12a^3bc}$:
1. НОД коэффициентов 4 и 12 равен 4.
2. НОД для переменных: $a^{\min(1,3)}=a$, $b^{\min(1,1)}=b$, $c^{\min(1,1)}=c$.
Одночлен для сокращения: $4abc$.
Сокращаем дробь:
$\frac{4abc}{12a^3bc} = \frac{4abc \cdot 1}{4abc \cdot 3a^2} = \frac{1}{3a^2}$.
Ответ: одночлен $4abc$; сокращенная дробь $\frac{1}{3a^2}$.

в) Для дроби $\frac{24a^3b^2}{8ab^3}$:
1. НОД коэффициентов 24 и 8 равен 8.
2. НОД для переменных: $a^{\min(3,1)}=a$, $b^{\min(2,3)}=b^2$.
Одночлен для сокращения: $8ab^2$.
Сокращаем дробь:
$\frac{24a^3b^2}{8ab^3} = \frac{8ab^2 \cdot 3a^2}{8ab^2 \cdot b} = \frac{3a^2}{b}$.
Ответ: одночлен $8ab^2$; сокращенная дробь $\frac{3a^2}{b}$.

г) Для дроби $\frac{45abc}{12a^2b}$:
1. НОД коэффициентов 45 и 12 равен 3.
2. НОД для переменных: $a^{\min(1,2)}=a$, $b^{\min(1,1)}=b$. Переменная $c$ есть только в числителе, поэтому в НОД она не входит.
Одночлен для сокращения: $3ab$.
Сокращаем дробь:
$\frac{45abc}{12a^2b} = \frac{3ab \cdot 15c}{3ab \cdot 4a} = \frac{15c}{4a}$.
Ответ: одночлен $3ab$; сокращенная дробь $\frac{15c}{4a}$.

д) Для дроби $\frac{30xy^2}{15x^4y^5}$:
1. НОД коэффициентов 30 и 15 равен 15.
2. НОД для переменных: $x^{\min(1,4)}=x$, $y^{\min(2,5)}=y^2$.
Одночлен для сокращения: $15xy^2$.
Сокращаем дробь:
$\frac{30xy^2}{15x^4y^5} = \frac{15xy^2 \cdot 2}{15xy^2 \cdot x^3y^3} = \frac{2}{x^3y^3}$.
Ответ: одночлен $15xy^2$; сокращенная дробь $\frac{2}{x^3y^3}$.

е) Для дроби $\frac{48x^3y^3z^3}{12xy^2z^3}$:
1. НОД коэффициентов 48 и 12 равен 12.
2. НОД для переменных: $x^{\min(3,1)}=x$, $y^{\min(3,2)}=y^2$, $z^{\min(3,3)}=z^3$.
Одночлен для сокращения: $12xy^2z^3$.
Сокращаем дробь:
$\frac{48x^3y^3z^3}{12xy^2z^3} = \frac{12xy^2z^3 \cdot 4x^2y}{12xy^2z^3 \cdot 1} = 4x^2y$.
Ответ: одночлен $12xy^2z^3$; сокращенная дробь $4x^2y$.

ж) Для дроби $\frac{3xy^2}{15x^2y}$:
1. НОД коэффициентов 3 и 15 равен 3.
2. НОД для переменных: $x^{\min(1,2)}=x$, $y^{\min(2,1)}=y$.
Одночлен для сокращения: $3xy$.
Сокращаем дробь:
$\frac{3xy^2}{15x^2y} = \frac{3xy \cdot y}{3xy \cdot 5x} = \frac{y}{5x}$.
Ответ: одночлен $3xy$; сокращенная дробь $\frac{y}{5x}$.

з) Для дроби $\frac{5xyz}{12xy^2z^3}$:
1. НОД коэффициентов 5 и 12 равен 1 (они взаимно простые).
2. НОД для переменных: $x^{\min(1,1)}=x$, $y^{\min(1,2)}=y$, $z^{\min(1,3)}=z$.
Одночлен для сокращения: $xyz$.
Сокращаем дробь:
$\frac{5xyz}{12xy^2z^3} = \frac{xyz \cdot 5}{xyz \cdot 12yz^2} = \frac{5}{12yz^2}$.
Ответ: одночлен $xyz$; сокращенная дробь $\frac{5}{12yz^2}$.