Номер 32.18, страница 153 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.18. Верно ли, что:

а) $\frac{3xy^3}{xy} = 3y^2;$

б) $\frac{a^3b}{ab^2} = \frac{a^2}{b};$

В) $\frac{3xy}{x} = 3y;$

Г) $\frac{a^3b}{4ab} = \frac{a}{4}?$

а)Чтобы проверить верность равенства $\frac{3xy^3}{xy} = 3y^2$, необходимо упростить его левую часть. Для этого нужно разделить одночлен $3xy^3$ на одночлен $xy$. Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями: при делении степеней их показатели вычитаются.
$\frac{3xy^3}{xy} = 3 \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y^3}{y} = 3 \cdot x^{1-1} \cdot y^{3-1} = 3 \cdot x^0 \cdot y^2$
Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($x^0 = 1$), получаем:
$3 \cdot 1 \cdot y^2 = 3y^2$
После упрощения левая часть $\frac{3xy^3}{xy}$ стала равна $3y^2$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Следовательно, данное равенство является верным.
Ответ: да.

б)Проверим верность равенства $\frac{a^3b}{ab^2} = \frac{a^2}{b}$. Для этого упростим дробь в левой части. Можно сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя, которым является $ab$.
$\frac{a^3b}{ab^2} = \frac{a^2 \cdot a \cdot b}{a \cdot b \cdot b} = \frac{a^2}{b}$
Либо можно применить свойства степеней:
$\frac{a^3b}{ab^2} = a^{3-1} \cdot b^{1-2} = a^2 \cdot b^{-1}$
Степень с отрицательным показателем $b^{-1}$ равна $\frac{1}{b}$, поэтому:
$a^2 \cdot b^{-1} = a^2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^2}{b}$
Результат упрощения левой части совпадает с правой частью равенства. Следовательно, равенство верно.
Ответ: да.

в)Рассмотрим равенство $\frac{3xy}{x} = 3y$. Упростим левую часть, сократив дробь на переменную $x$, так как она является общим множителем для числителя и знаменателя (при условии, что $x \ne 0$).
$\frac{3xy}{x} = \frac{3 \cdot x \cdot y}{x} = 3y$
После упрощения левая часть стала равна $3y$, что полностью совпадает с правой частью. Таким образом, равенство является верным.
Ответ: да.

г)Проверим верность равенства $\frac{a^3b}{4ab} = \frac{a^2}{4}$. Упростим алгебраическую дробь в левой части. Для этого сократим числитель и знаменатель на их общий множитель $ab$ (при условии, что $a \ne 0$ и $b \ne 0$).
$\frac{a^3b}{4ab} = \frac{a^2 \cdot (ab)}{4 \cdot (ab)} = \frac{a^2}{4}$
Другой способ — использовать свойства степеней:
$\frac{a^3b}{4ab} = \frac{1}{4} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1-1} = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot b^0 = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot 1 = \frac{a^2}{4}$
Результат упрощения левой части, $\frac{a^2}{4}$, совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.
Ответ: да.