Номер 32.12, страница 153 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.12. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

a) $ \frac{3a^2 + b^2}{24 - 6a^2} $;

б) $ a^2 + ab + \frac{b}{a} $;

В) $ \frac{x + y}{x + y} $?

а) Данное выражение $\frac{3a^2 + b^2}{24 - 6a^2}$ является дробным. Алгебраическая дробь имеет смысл только в том случае, если её знаменатель не равен нулю. Чтобы найти недопустимые значения переменной, нужно приравнять знаменатель к нулю.
$24 - 6a^2 = 0$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(4 - a^2) = 0$
Разделим обе части на 6:
$4 - a^2 = 0$
$a^2 = 4$
$a = 2$ или $a = -2$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях переменной $a$, кроме $a=2$ и $a=-2$. На переменную $b$ ограничений нет, так как она находится в числителе и может принимать любые значения.
Ответ: выражение имеет смысл при $a \neq 2$ и $a \neq -2$; $b$ — любое число.

б) Выражение $a^2 + ab + \frac{b}{a}$ содержит слагаемое в виде дроби $\frac{b}{a}$. Выражение имеет смысл, когда определены все входящие в него операции. В данном случае единственным ограничением является деление на переменную $a$ в последнем слагаемом. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$a \neq 0$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме нуля. На переменную $b$ ограничений нет.
Ответ: выражение имеет смысл при $a \neq 0$; $b$ — любое число.

в) Выражение $\frac{x+y}{x+y}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
$x+y \neq 0$
Это неравенство можно переписать как $x \neq -y$. Это означает, что выражение определено для любых пар чисел $(x, y)$, которые не являются противоположными друг другу.
Ответ: выражение имеет смысл при $x+y \neq 0$.