Номер 32.5, страница 152 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.5. Какие из следующих выражений:

а) $2,3x - \frac{1}{5y}$;

б) $\frac{\frac{1}{3x} - 0,3y}{3}$;

в) $\frac{3}{x - y}$;

г) $4 + \frac{1}{30}x^2y$;

д) $\frac{5\frac{1}{3} - \frac{5}{7}y}{3}$;

е) $\frac{y^2}{25x - 6}$ — являются:

1) целыми рациональными;

2) дробными рациональными?

Для того чтобы классифицировать выражения, необходимо определить, содержат ли они операцию деления на переменную или на выражение с переменной.

• Целые рациональные выражения — это рациональные выражения, которые не содержат деления на переменную. Они представляют собой многочлены.
• Дробные рациональные выражения — это рациональные выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной.

1) целыми рациональными

Целыми рациональными являются выражения, не содержащие деления на переменные. Рассмотрим каждое выражение из списка:

г) $4 + \frac{1}{30}x^2y$. Данное выражение является многочленом, так как состоит из суммы числа 4 и одночлена $\frac{1}{30}x^2y$. Деление выполняется на константу 30, а не на переменную. Следовательно, это целое рациональное выражение.

д) $\frac{5\frac{1}{3} - \frac{5}{7}y}{3}$. Для анализа преобразуем данное выражение. Смешанное число $5\frac{1}{3}$ равно $\frac{16}{3}$.

$\frac{\frac{16}{3} - \frac{5}{7}y}{3} = \left(\frac{16}{3} - \frac{5}{7}y\right) \div 3 = \frac{16}{3 \cdot 3} - \frac{5y}{7 \cdot 3} = \frac{16}{9} - \frac{5}{21}y$.

Полученное выражение является многочленом первой степени относительно переменной $y$ и не содержит деления на переменную. Следовательно, это целое рациональное выражение.

Ответ: г), д).

2) дробными рациональными

Дробными рациональными являются выражения, в которых есть деление на переменную или на выражение с переменной.

а) $2,3x - \frac{1}{5y}$. Это выражение содержит слагаемое $\frac{1}{5y}$, в знаменателе которого находится переменная $y$. Следовательно, это дробное рациональное выражение.

б) $\frac{\frac{1}{3x} - 0,3y}{3}$. Преобразуем выражение:

$\frac{\frac{1}{3x} - 0,3y}{3} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3x} - 0,3y\right) = \frac{1}{9x} - \frac{0,3y}{3} = \frac{1}{9x} - 0,1y$.

В выражении есть слагаемое $\frac{1}{9x}$, которое содержит деление на переменную $x$. Следовательно, это дробное рациональное выражение.

в) $\frac{3}{x-y}$. В знаменателе этой дроби находится выражение $x-y$, содержащее переменные. Следовательно, это дробное рациональное выражение.

е) $\frac{y^2}{25x-6}$. Знаменатель дроби $25x-6$ содержит переменную $x$. Следовательно, это дробное рациональное выражение.

Ответ: а), б), в), е).