Номер 32.1, страница 152 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.1. Верно ли, что выражение:

а) $2\frac{x}{y} + \frac{2}{3}y$;

б) $\frac{2,5x + y}{5}$;

в) $\frac{4}{4,5x - y}$ — является дробным рациональным?

Для начала определим, что такое дробное рациональное выражение. Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на выражение с переменными. Если же знаменатель не содержит переменных (является числом, отличным от нуля), то выражение называется целым.

а) Рассмотрим выражение $2\frac{x}{y} + \frac{2}{3}y$.
Это выражение содержит слагаемое $2\frac{x}{y}$, которое можно записать как $\frac{2x}{y}$. В этом слагаемом присутствует деление на переменную $y$. Следовательно, по определению, всё выражение является дробным рациональным.
Можно привести выражение к общему знаменателю, чтобы убедиться:
$2\frac{x}{y} + \frac{2}{3}y = \frac{2x}{y} + \frac{2y}{3} = \frac{2x \cdot 3}{3y} + \frac{2y \cdot y}{3y} = \frac{6x + 2y^2}{3y}$
В получившейся дроби знаменатель $3y$ содержит переменную, значит, выражение является дробным рациональным.

Ответ: верно.

б) Рассмотрим выражение $\frac{2,5x + y}{5}$.
Это выражение представляет собой дробь, где числитель $2,5x + y$ является многочленом, а знаменатель равен $5$. Знаменатель является числом и не содержит переменных. Такие выражения называются целыми рациональными выражениями.
Его можно представить в виде многочлена:
$\frac{2,5x + y}{5} = \frac{2,5x}{5} + \frac{y}{5} = 0,5x + 0,2y$
Так как деления на переменную нет, это выражение не является дробным рациональным.

Ответ: неверно.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4}{4,5x - y}$.
Это выражение представляет собой дробь. Знаменатель дроби, $4,5x - y$, содержит переменные $x$ и $y$. Согласно определению, если в выражении есть деление на переменную, то оно является дробным рациональным.

Ответ: верно.