Номер 31.37, страница 150 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.37*. Принадлежит ли точка $ (8-4\sqrt{3}; \sqrt{6}-\sqrt{2}) $ графику функции $ y = \sqrt{x} $?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции и проверить, выполняется ли равенство $y_0 = f(x_0)$.

В данном случае нам дана функция $y = \sqrt{x}$ и точка с координатами $x = 8 - 4\sqrt{3}$ и $y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$.

Подставим координаты точки в уравнение функции и проверим равенство:

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$

Чтобы проверить это равенство, возведем обе его части в квадрат. Предварительно необходимо убедиться, что обе части неотрицательны.

• Левая часть: $\sqrt{6} - \sqrt{2}$. Так как $6 > 2$, то $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, следовательно, разность $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ положительна.
• Правая часть: $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$. Значение квадратного корня по определению неотрицательно. Проверим знак подкоренного выражения: $8 - 4\sqrt{3}$. Сравним $8$ и $4\sqrt{3}$. $8^2 = 64$, а $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $64 > 48$, то $8 > 4\sqrt{3}$, и выражение $8 - 4\sqrt{3}$ положительно.

Поскольку обе части равенства положительны, их можно возвести в квадрат, при этом равенство останется верным.

Возведем в квадрат левую часть, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 - 2 \cdot 2\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}$.

Возведем в квадрат правую часть:

$(\sqrt{8 - 4\sqrt{3}})^2 = 8 - 4\sqrt{3}$.

Сравниваем полученные выражения:

$8 - 4\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}$.

Мы получили верное тождество. Это означает, что исходное равенство было верным, и координаты точки $(8 - 4\sqrt{3}; \sqrt{6} - \sqrt{2})$ удовлетворяют уравнению функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: да, принадлежит.