Номер 31.31, страница 149 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.31. Постройте график функции $f(x) = \frac{4}{x}$ и найдите:

а) $f(-2)$ и $f(8)$;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно $-8$;

в) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

г) промежутки убывания функции.

Функция $f(x) = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность. Графиком является гипербола. Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика составим таблицу ключевых точек:

График функции $f(x) = \frac{4}{x}$:

а) Для нахождения значений функции $f(-2)$ и $f(8)$ подставим значения аргументов $x=-2$ и $x=8$ в уравнение функции $f(x) = \frac{4}{x}$. Для $x=-2$ получаем: $f(-2) = \frac{4}{-2} = -2$. Для $x=8$ получаем: $f(8) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: $f(-2) = -2$; $f(8) = 0.5$.

б) Чтобы найти значение аргумента, при котором значение функции равно -8, необходимо решить уравнение $f(x) = -8$. Подставляем выражение для функции: $\frac{4}{x} = -8$. Отсюда находим $x$: $x = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Ответ: при $x = -0.5$.

в) Функция принимает положительные значения, когда $f(x) > 0$. Решим неравенство: $\frac{4}{x} > 0$. Так как числитель $4$ является положительным числом, для того чтобы вся дробь была положительной, знаменатель $x$ также должен быть положительным. Следовательно, $x > 0$. Это также видно из графика: ветвь гиперболы находится выше оси абсцисс (где $y>0$) при $x>0$.
Ответ: при $x \in (0; +\infty)$.

г) Функция является убывающей на промежутке, если при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ уменьшается. Анализируя график, мы видим, что на промежутке $(-\infty; 0)$ с ростом $x$ (например, от -4 до -1) график идет вниз (значения $y$ уменьшаются с -1 до -4). Аналогично, на промежутке $(0; +\infty)$ с ростом $x$ (например, от 1 до 4) график также идет вниз (значения $y$ уменьшаются с 4 до 1). Таким образом, функция убывает на всей своей области определения, состоящей из двух промежутков.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.