Номер 31.24, страница 149 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.24. Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. Возрастает или убывает данная функция при $x < 0$?

Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$

Данная функция $y = \frac{8}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Её график — гипербола.

Основные характеристики функции:

• Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Это можно записать как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений функции: все действительные числа, кроме $y=0$. Это можно записать как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Коэффициент пропорциональности $k=8$ является положительным ($k>0$), поэтому ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях.
• Оси координат являются асимптотами графика. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$), вертикальная асимптота — ось ординат ($x=0$).

Для построения графика найдём несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений.

Для ветви в I четверти ($x > 0$):

Для ветви в III четверти ($x < 0$):

Чтобы построить график, нужно отметить вычисленные точки на координатной плоскости и соединить их плавными кривыми линиями (ветвями гиперболы), которые будут неограниченно приближаться к осям координат, не пересекая их.

Ответ: Графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти и проходит через точки (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1). Вторая ветвь расположена в третьей координатной четверти и проходит через точки (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1). Асимптотами графика являются оси Ox и Oy.

Возрастает или убывает данная функция при $x < 0$?

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на промежутке $x < 0$ (то есть на промежутке $(-\infty; 0)$), воспользуемся определением монотонности функции. Функция является убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента ($x$) из этого промежутка соответствует меньшее значение функции ($y$).

Рассмотрим два любых значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$, такие что $x_1 < x_2$. Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = f(x_1) = \frac{8}{x_1}$ и $y_2 = f(x_2) = \frac{8}{x_2}$.

Сравним $y_1$ и $y_2$, рассмотрев их разность: $y_2 - y_1 = \frac{8}{x_2} - \frac{8}{x_1}$. Приведём дроби к общему знаменателю: $y_2 - y_1 = \frac{8x_1 - 8x_2}{x_1x_2} = \frac{8(x_1 - x_2)}{x_1x_2}$.

Проанализируем знак полученного выражения:

• Числитель: так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2$ будет отрицательной ($x_1 - x_2 < 0$). Соответственно, $8(x_1 - x_2) < 0$.
• Знаменатель: так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, оба числа отрицательны. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, то есть $x_1x_2 > 0$.

Таким образом, вся дробь $\frac{8(x_1 - x_2)}{x_1x_2}$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, её значение отрицательно.

Получаем, что $y_2 - y_1 < 0$, откуда следует, что $y_2 < y_1$.

Итак, для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ из того, что $x_1 < x_2$, следует, что $f(x_1) > f(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция является убывающей на данном промежутке.

Этот вывод также подтверждается видом графика: при движении по ветви гиперболы в третьей четверти слева направо (то есть при увеличении $x$) график идёт вниз (значения $y$ уменьшаются).

Ответ: При $x < 0$ данная функция убывает.