Номер 31.20, страница 148 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.20. Постройте график функции $y = - \frac{4}{x}$. Возрастает или убывает данная функция при $x > 0$?

Данная функция $y = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений функции: $R(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Построение графика функции $y = -\frac{4}{x}$

График функции вида $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ расположен во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. В нашем случае коэффициент $k = -4$ отрицательный, поэтому ветви гиперболы находятся в II и IV четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: ось Ox ($y=0$) и ось Oy ($x=0$), то есть график не пересекает их, а лишь бесконечно к ним приближается.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви:

Отметив эти точки, например, $(-4; 1), (-2; 2), (-1; 4)$ для отрицательных $x$ и $(1; -4), (2; -2), (4; -1)$ для положительных $x$, на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми, мы получим искомый график — гиперболу.

Возрастает или убывает данная функция при $x > 0$?

Рассмотрим поведение функции на промежутке $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$. Чтобы определить, возрастает или убывает функция, можно рассуждать двумя способами.

Способ 1: Анализ по точкам графика. Из таблицы значений для $x > 0$ (или глядя на построенный график в IV четверти) видно, что при увеличении значений аргумента $x$ (например, при переходе от $x=1$ к $x=2$ и к $x=4$), соответствующие значения функции $y$ также увеличиваются ($-4 < -2 < -1$). Двигаясь по графику слева направо, мы поднимаемся вверх. Это означает, что на данном промежутке функция возрастает.

Способ 2: Формальное доказательство. Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ так, чтобы $0 < x_1 < x_2$. Сравним значения функции $y_1 = f(x_1) = -\frac{4}{x_1}$ и $y_2 = f(x_2) = -\frac{4}{x_2}$. Рассмотрим их разность: $y_2 - y_1 = \left(-\frac{4}{x_2}\right) - \left(-\frac{4}{x_1}\right) = \frac{4}{x_1} - \frac{4}{x_2} = \frac{4(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак полученного выражения. Так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то разность $(x_2 - x_1)$ положительна. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, то $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$, а значит их произведение $x_1 x_2$ также положительно. Числитель дроби $4(x_2 - x_1)$ положителен, и знаменатель $x_1 x_2$ тоже положителен. Следовательно, вся дробь положительна: $y_2 - y_1 > 0$, откуда $y_2 > y_1$. Поскольку для любых $x_2 > x_1$ из промежутка $(0; +\infty)$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, функция является возрастающей на этом промежутке.

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. На промежутке $x > 0$ данная функция возрастает.