Номер 31.25, страница 149 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.25. В каких четвертях координатной плоскости расположен график функции:

а) $y = \frac{7}{x}$;

б) $y = \frac{0,09}{x}$;

в) $y = -\frac{15}{8x}$?

Все представленные функции являются обратными пропорциональностями вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$. Графиком такой функции является гипербола.

Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ совпадают (оба положительные или оба отрицательные).
• Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ различны.

Проанализируем каждую функцию.

а) $y = \frac{7}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 7$.

Поскольку коэффициент $k = 7 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Действительно:

• Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $y = \frac{7}{x} > 0$ (I и II четверти). Пересечение — I четверть.
• Если $x < 0$ (II и III четверти), то $y = \frac{7}{x} < 0$ (III и IV четверти). Пересечение — III четверть.

Следовательно, график функции расположен в I и III четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

б) $y = \frac{0,09}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 0,09$.

Поскольку коэффициент $k = 0,09 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Действительно:

• Если $x > 0$, то $y = \frac{0,09}{x} > 0$. Точки с положительными координатами $(x; y)$ лежат в I четверти.
• Если $x < 0$, то $y = \frac{0,09}{x} < 0$. Точки с отрицательными координатами $(x; y)$ лежат в III четверти.

Следовательно, график функции расположен в I и III четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

в) $y = -\frac{15}{8x}$

Эту функцию можно представить в стандартном виде $y = \frac{k}{x}$, записав ее как $y = \frac{-15/8}{x}$. Коэффициент обратной пропорциональности здесь $k = -\frac{15}{8}$.

Поскольку коэффициент $k = -\frac{15}{8} < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Действительно:

• Если $x > 0$, то $y = -\frac{15}{8x} < 0$. Точки с координатами $(+; -)$ лежат в IV четверти.
• Если $x < 0$, то $y = -\frac{15}{8x} > 0$. Точки с координатами $(-; +)$ лежат во II четверти.

Следовательно, график функции расположен во II и IV четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.