Номер 31.29, страница 149 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.29. Сравните значения функции $y = \sqrt{x}$ при:

a) $x=5,3$ и $x=5,7$;

б) $x=2\sqrt{6}$ и $x=2\sqrt{7}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством функции $y=\sqrt{x}$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то и $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Следовательно, чтобы сравнить значения функции, достаточно сравнить значения ее аргументов.

а) Сравним значения функции при $x=5,3$ и $x=5,7$.

Аргументы функции: $x_1 = 5,3$ и $x_2 = 5,7$.

Сравним аргументы: $5,3 < 5,7$.

Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, $\sqrt{5,3} < \sqrt{5,7}$.

Ответ: значение функции при $x=5,3$ меньше, чем при $x=5,7$.

б) Сравним значения функции при $x=2\sqrt{6}$ и $x=2\sqrt{7}$.

Аргументы функции: $x_1 = 2\sqrt{6}$ и $x_2 = 2\sqrt{7}$.

Сначала сравним сами аргументы. Для этого можно сравнить множители под знаком корня. Так как $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$. Умножение на положительное число $2$ не меняет знака неравенства, поэтому $2\sqrt{6} < 2\sqrt{7}$.

Также можно сравнить квадраты аргументов, так как оба аргумента положительны:

$x_1^2 = (2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

$x_2^2 = (2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$.

Так как $24 < 28$, то и $x_1 < x_2$, то есть $2\sqrt{6} < 2\sqrt{7}$.

Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, а мы установили, что $2\sqrt{6} < 2\sqrt{7}$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении:

$\sqrt{2\sqrt{6}} < \sqrt{2\sqrt{7}}$.

Ответ: значение функции при $x=2\sqrt{6}$ меньше, чем при $x=2\sqrt{7}$.