Номер 31.23, страница 149 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.23. Верно ли, что график функции:

а) $y = \frac{5}{x}$ расположен в первой и третьей четвертях;

б) $y = -\frac{5}{x}$ расположен во второй и четвертой четвертях?

а) $y = \frac{5}{x}$ расположен в первой и третьей четвертях;

Рассматриваемая функция $y = \frac{5}{x}$ относится к классу функций обратной пропорциональности, которые имеют общий вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ - это ненулевой коэффициент.

Графиком такой функции является гипербола. Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях.

В случае функции $y = \frac{5}{x}$, коэффициент $k=5$. Так как $k > 0$, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях.

Это можно проверить, анализируя знаки переменных. В первой четверти $x > 0$ и $y > 0$. Если мы подставим любое положительное значение $x$ в формулу $y = \frac{5}{x}$, мы получим положительное значение $y$. В третьей четверти $x < 0$ и $y < 0$. Если мы подставим любое отрицательное значение $x$ в формулу, мы получим отрицательное значение $y$. Таким образом, точки графика лежат именно в этих четвертях.

Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) $y = -\frac{5}{x}$ расположен во второй и четвертой четвертях?

Рассмотрим функцию $y = -\frac{5}{x}$. Ее можно записать в виде $y = \frac{-5}{x}$. Это также функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-5$.

Поскольку коэффициент $k = -5$ является отрицательным ($k < 0$), ветви гиперболы, являющейся графиком этой функции, располагаются во второй и четвертой координатных четвертях.

Проверим это. Во второй четверти $x < 0$ и $y > 0$. Если мы подставим любое отрицательное значение $x$ в формулу $y = \frac{-5}{x}$, мы получим положительное значение $y$ (например, при $x = -1, y = \frac{-5}{-1} = 5$). В четвертой четверти $x > 0$ и $y < 0$. Если мы подставим любое положительное значение $x$ в формулу, мы получим отрицательное значение $y$ (например, при $x = 1, y = \frac{-5}{1} = -5$). Таким образом, точки графика лежат именно в этих четвертях.

Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: да, верно.