Номер 31.32, страница 150 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.32*. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = x^3$ и $y = 1 - x$;

б) $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$;

в) $y = |x|$ и $y = -\frac{x+6}{2}$;

г) $y = |x|$ и $y = \frac{16}{x}$;

д) $y = |x|$ и $y = -x^2+8$.

а) $y = x^3$ и $y = 1 - x$

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно начала координат. График функции $y = 1 - x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Чтобы найти координаты общих точек, приравняем выражения для $y$:
$x^3 = 1 - x$
$x^3 + x - 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Проанализируем функцию $f(x) = x^3 + x - 1$. Её производная $f'(x) = 3x^2 + 1$ всегда положительна ($3x^2 \ge 0$, следовательно $3x^2 + 1 \ge 1$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного действительного корня.
Поскольку $f(0) = -1$ и $f(1) = 1$, а функция непрерывна, корень $x_0$ существует и находится в интервале $(0, 1)$. У этого уравнения нет простых рациональных корней.
Таким образом, графики пересекаются в одной точке. Координата $x$ этой точки является единственным действительным корнем уравнения $x^3 + x - 1 = 0$. Обозначим этот корень как $x_0$.
Тогда координата $y$ будет $y_0 = 1 - x_0$.
При построении графиков можно найти приблизительное значение. Корень $x_0 \approx 0.68$, тогда $y_0 \approx 1 - 0.68 = 0.32$.
Ответ: Точка пересечения одна, её координаты $(x_0, 1 - x_0)$, где $x_0$ — единственный действительный корень уравнения $x^3 + x - 1 = 0$.

б) $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \ge 0$.

Для нахождения общих точек решим уравнение:
$x^3 = \sqrt{x}$
Поскольку $x \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$(x^3)^2 = (\sqrt{x})^2$
$x^6 = x$
$x^6 - x = 0$
$x(x^5 - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
1) $x = 0$. Тогда $y = 0^3 = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.
2) $x^5 - 1 = 0 \implies x^5 = 1 \implies x = 1$. Тогда $y = 1^3 = 1$. Вторая точка пересечения — $(1, 1)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

в) $y = |x|$ и $y = -\frac{x+6}{2}$

График функции $y = |x|$ — это график, состоящий из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График функции $y = -\frac{x+6}{2}$ или $y = -0.5x - 3$ — это прямая линия.

Приравняем функции для нахождения общих точек: $|x| = -\frac{x+6}{2}$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
$x = -\frac{x+6}{2}$
$2x = -x - 6$
$3x = -6$
$x = -2$
Полученное значение $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, в этой области решений нет.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
$-x = -\frac{x+6}{2}$
$x = \frac{x+6}{2}$
$2x = x + 6$
$x = 6$
Полученное значение $x = 6$ не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, и в этой области решений нет.
Таким образом, у графиков данных функций нет общих точек.

Ответ: Общих точек нет.

г) $y = |x|$ и $y = \frac{16}{x}$

График функции $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в начале координат. График функции $y = \frac{16}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Решим уравнение $|x| = \frac{16}{x}$.
Так как левая часть $|x| \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{16}{x} \ge 0$, что выполняется при $x > 0$.
Следовательно, мы ищем решение только для $x > 0$.
При $x > 0$ имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = \frac{16}{x}$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Учитывая условие $x > 0$, получаем единственный корень $x = 4$.
Найдем соответствующий $y$: $y = |4| = 4$.
Точка пересечения — $(4, 4)$.

Ответ: $(4, 4)$.

д) $y = |x|$ и $y = -x^2 + 8$

График функции $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в начале координат. График функции $y = -x^2 + 8$ — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 8)$.

Решим уравнение $|x| = -x^2 + 8$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
$x = -x^2 + 8$
$x^2 + x - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-8) = 1 + 32 = 33$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Так как $x \ge 0$, подходит только корень $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$.
Найдем $y_1 = |x_1| = x_1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$.
Первая точка пересечения: $(\frac{-1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2})$.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
$-x = -x^2 + 8$
$x^2 - x - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4(1)(-8) = 1 + 32 = 33$.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Так как $x < 0$, подходит только корень $x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ (поскольку $\sqrt{33} > \sqrt{1} = 1$).
Найдем $y_2 = |x_2| = -x_2 = -(\frac{1 - \sqrt{33}}{2}) = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$.
Вторая точка пересечения: $(\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2})$.

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2})$, $(\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2})$.