Номер 31.39, страница 150 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.39*. Для каждого значения числа $k$ определите число точек пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = (k+1)x$.

Для определения количества точек пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = (k + 1)x$ необходимо найти количество действительных корней уравнения, получаемого приравниванием правых частей этих функций:

$x^3 = (k + 1)x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - (k + 1)x = 0$

$x(x^2 - (k + 1)) = 0$

Это уравнение имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $x^2 - (k + 1) = 0 \Rightarrow x^2 = k + 1$

Первое уравнение, $x = 0$, дает один корень при любом значении параметра $k$. Это означает, что графики всегда пересекаются в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Количество решений второго уравнения, $x^2 = k + 1$, зависит от знака выражения $k + 1$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $k + 1 < 0$ (то есть $k < -1$)

В этом случае уравнение $x^2 = k + 1$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, единственным корнем исходного уравнения является $x = 0$. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения.

Случай 2: $k + 1 = 0$ (то есть $k = -1$)

В этом случае уравнение $x^2 = k + 1$ принимает вид $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Этот корень совпадает с уже найденным из первого уравнения. Таким образом, у исходного уравнения снова только один действительный корень $x=0$. Графики функций имеют одну точку пересечения (в данном случае это точка касания в начале координат).

Случай 3: $k + 1 > 0$ (то есть $k > -1$)

В этом случае уравнение $x^2 = k + 1$ имеет два различных действительных корня: $x = \sqrt{k+1}$ и $x = -\sqrt{k+1}$. Оба этих корня отличны от нуля, так как $k+1 > 0$. Вместе с корнем $x = 0$ из первого уравнения, мы получаем три различных действительных корня. Следовательно, графики функций имеют три точки пересечения.

Подводя итог:

• Если $k < -1$ или $k = -1$, то есть при $k \le -1$, графики имеют одну точку пересечения.
• Если $k > -1$, графики имеют три точки пересечения.

Ответ: если $k \le -1$, то одна точка пересечения; если $k > -1$, то три точки пересечения.