Номер 31.38, страница 150 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.38*. Сравните значения функции $y = \sqrt{x}$ при $x = \frac{5}{\sqrt{11}-1}$ и $x = \sqrt{44}+2$.

Чтобы сравнить значения функции $y = \sqrt{x}$ при заданных значениях аргумента, необходимо сравнить сами эти значения. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$), поэтому большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Сравним два значения аргумента: $x_1 = \frac{5}{\sqrt{11}-1}$ и $x_2 = \sqrt{44}+2$. Для этого упростим каждое выражение.

Преобразуем первое значение $x_1$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{11}+1)$:

$x_1 = \frac{5}{\sqrt{11}-1} = \frac{5(\sqrt{11}+1)}{(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)} = \frac{5(\sqrt{11}+1)}{(\sqrt{11})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{11}+1)}{11-1} = \frac{5(\sqrt{11}+1)}{10} = \frac{\sqrt{11}+1}{2}$

Теперь упростим второе значение $x_2$, вынеся множитель из-под знака корня:

$x_2 = \sqrt{44}+2 = \sqrt{4 \cdot 11}+2 = 2\sqrt{11}+2 = 2(\sqrt{11}+1)$

Теперь сравним полученные выражения для $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{\sqrt{11}+1}{2}$ и $x_2 = 2(\sqrt{11}+1)$.

Оба выражения содержат общий положительный множитель $(\sqrt{11}+1)$. Сравним коэффициенты перед этим множителем: $\frac{1}{2}$ и $2$.

Поскольку $\frac{1}{2} < 2$, то и $\frac{1}{2}(\sqrt{11}+1) < 2(\sqrt{11}+1)$.

Следовательно, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что и $y(x_1) < y(x_2)$.

Ответ: значение функции $y = \sqrt{x}$ при $x = \frac{5}{\sqrt{11}-1}$ меньше, чем при $x = \sqrt{44} + 2$.