Номер 32.11, страница 153 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.11. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $\frac{3+a}{2-5a}$;

б) $x^3 - 4x^2 + 2$;

В) $\frac{x+2}{x^2-9}$;

Г) $\frac{8}{2m^2+5}$?

а) Данное выражение $\frac{3+a}{2-5a}$ является дробным. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$2 - 5a = 0$
$-5a = -2$
$a = \frac{-2}{-5}$
$a = \frac{2}{5}$ или $a = 0.4$
Следовательно, при $a=0.4$ знаменатель дроби равен нулю, и на ноль делить нельзя. Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=0.4$.
Ответ: при $a \neq 0.4$.

б) Выражение $x^3 - 4x^2 + 2$ является целым выражением (многочленом). Такие выражения определены для любых действительных значений переменной, поскольку не содержат операций деления на переменную или других ограничений.
Ответ: при любых значениях переменной $x$.

в) Данное выражение $\frac{x+2}{x^2 - 9}$ является дробным. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x^2 - 9 = 0$
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x = 3$ или $x = -3$
Значит, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=3$ и $x=-3$.
Ответ: при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

г) Данное выражение $\frac{8}{2m^2 + 5}$ является дробным. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $2m^2 + 5$ равняться нулю.
Выражение $m^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $m$, то есть $m^2 \ge 0$.
Тогда $2m^2 \ge 0$.
Прибавляя 5 к обеим частям неравенства, получаем:
$2m^2 + 5 \ge 5$
Поскольку знаменатель $2m^2 + 5$ всегда больше или равен 5, он никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $m$.
Ответ: при любых значениях переменной $m$.