Номер 32.17, страница 153 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.17. Можно ли сократить дробь $\frac{a+3}{3a^2}$ на:

а) a;

б) 3?

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь на некоторый множитель, необходимо, чтобы и числитель, и знаменатель этой дроби делились на этот множитель. Это означает, что множитель можно вынести за скобки как в числителе, так и в знаменателе.

Рассмотрим возможность сокращения дроби $\frac{a+3}{3a^2}$ на $a$.

Знаменатель $3a^2$ делится на $a$, так как его можно представить в виде произведения $a \cdot 3a$.

Числитель $a+3$ является суммой. Чтобы вся сумма делилась на $a$, каждое слагаемое должно делиться на $a$. Слагаемое $a$ делится на $a$ (результат 1), но слагаемое $3$ в общем случае на $a$ не делится. Следовательно, из числителя $a+3$ нельзя вынести за скобки множитель $a$.

Так как числитель не делится на $a$, сокращение всей дроби на $a$ невозможно.

Ответ: нет.

Рассмотрим возможность сокращения дроби $\frac{a+3}{3a^2}$ на $3$.

Знаменатель $3a^2$ делится на $3$, так как его можно представить в виде произведения $3 \cdot a^2$.

Числитель $a+3$ является суммой. Чтобы вся сумма делилась на $3$, каждое слагаемое должно делиться на $3$. Слагаемое $3$ делится на $3$ (результат 1), но слагаемое $a$ в общем случае на $3$ не делится. Следовательно, из числителя $a+3$ нельзя вынести за скобки множитель $3$.

Так как числитель не делится на $3$, сокращение всей дроби на $3$ невозможно.

Ответ: нет.