Номер 32.16, страница 153 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

32.16. Дробь $\frac{5a}{15a^2}$ можно сократить только на: а) 5; б) a; в) 5a. Выберите правильный ответ.

Чтобы определить, на какое выражение можно сократить дробь $\frac{5a}{15a^2}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя.

1. Разложим числитель на множители: $5a = 5 \cdot a$.

2. Разложим знаменатель на множители: $15a^2 = 3 \cdot 5 \cdot a \cdot a$.

3. Общими множителями для числителя и знаменателя являются $5$ и $a$.

4. Наибольший общий делитель равен произведению этих общих множителей: $НОД(5a, 15a^2) = 5 \cdot a = 5a$.

Сокращение дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий делитель. Чтобы сократить дробь полностью, то есть сделать ее несократимой, нужно разделить ее на наибольший общий делитель. Формулировка в задании "можно сократить только на" указывает на необходимость полного сокращения.

Выполним сокращение на НОД:

$\frac{5a}{15a^2} = \frac{5a \div 5a}{15a^2 \div 5a} = \frac{1}{3a}$

Теперь проанализируем предложенные варианты:

а) 5

Если сократить дробь на 5, мы получим $\frac{a}{3a^2}$. Эту дробь все еще можно сократить на $a$. Следовательно, это неполное сокращение, и данный вариант не подходит, так как сокращение возможно не только на 5.

б) a

Если сократить дробь на $a$, мы получим $\frac{5}{15a}$. Эту дробь все еще можно сократить на 5. Следовательно, это также неполное сокращение.

в) 5a

При сокращении на $5a$ мы получаем несократимую дробь $\frac{1}{3a}$. Это наибольший общий делитель, и после деления на него дальнейшее сокращение невозможно. Этот вариант является правильным.

Ответ: в) 5a