Номер 12.31, страница 52 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.31. Определите, какие из данных трехчленов невозможно представить в виде квадрата двучлена:

а) $25a^2 - 10ab + b^2;$

б) $a^2 + 10ab + 25b^2;$

в) $25a^2 - 5ab + b^2;$

г) $25c^2 - 10ab + a^2.$

Для того чтобы трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ (квадрат суммы) или $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ (квадрат разности). Это означает, что два члена трехчлена должны быть полными квадратами, а третий член (средний член) должен быть удвоенным произведением корней из этих двух членов. Проверим каждый из данных трехчленов на соответствие этому условию.

а) $25a^2 - 10ab + b^2$

В этом трехчлене есть два члена, являющихся полными квадратами: $25a^2 = (5a)^2$ и $b^2 = (b)^2$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению их корней со знаком минус: $2 \cdot (5a) \cdot b = 10ab$.
Средний член трехчлена равен $-10ab$, что соответствует формуле квадрата разности: $(5a)^2 - 2 \cdot (5a) \cdot b + b^2 = (5a - b)^2$.
Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: можно.

б) $a^2 + 10ab + 25b^2$

В этом трехчлене есть два члена, являющихся полными квадратами: $a^2 = (a)^2$ и $25b^2 = (5b)^2$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению их корней: $2 \cdot a \cdot (5b) = 10ab$.
Средний член трехчлена равен $10ab$, что соответствует формуле квадрата суммы: $(a)^2 + 2 \cdot a \cdot (5b) + (5b)^2 = (a + 5b)^2$.
Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: можно.

в) $25a^2 - 5ab + b^2$

Два члена являются полными квадратами: $25a^2 = (5a)^2$ и $b^2 = (b)^2$.
Удвоенное произведение их корней должно быть равно $\pm 2 \cdot (5a) \cdot b = \pm 10ab$.
Однако средний член данного трехчлена равен $-5ab$.
Поскольку $-5ab \neq -10ab$, этот трехчлен не является полным квадратом.
Следовательно, его невозможно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: невозможно.

г) $25c^2 - 10ab + a^2$

Два члена являются полными квадратами: $25c^2 = (5c)^2$ и $a^2 = (a)^2$.
Для того чтобы это был квадрат двучлена, средний член должен быть удвоенным произведением их корней, то есть $\pm 2 \cdot (5c) \cdot a = \pm 10ac$.
Однако средний член данного трехчлена равен $-10ab$.
Переменные в среднем члене ($a, b$) не соответствуют переменным в квадратах членов ($a, c$). Так как в общем случае $-10ab \neq -10ac$, этот трехчлен не является полным квадратом.
Следовательно, его невозможно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: невозможно.

Таким образом, трехчлены, которые невозможно представить в виде квадрата двучлена, это трехчлены из пунктов в) и г).