Номер 12.27, страница 52 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.27. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного

вида:

а) $(2x + 7)^2 - (7x + 2)^2;$

б) $(3x + 5y)^2 - (3x - 5y)^2;$

в) $4(2x - 6)^2 - (4x - 12)^2;$

г) $9(4x - 3y)^2 - 16(3x - 2y)^2.$

а) $(2x + 7)^2 - (7x + 2)^2$

Для преобразования выражения раскроем каждую скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(2x + 7)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49$

Раскроем вторую скобку:

$(7x + 2)^2 = (7x)^2 + 2 \cdot 7x \cdot 2 + 2^2 = 49x^2 + 28x + 4$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(4x^2 + 28x + 49) - (49x^2 + 28x + 4) = 4x^2 + 28x + 49 - 49x^2 - 28x - 4$

Приведём подобные слагаемые:

$(4x^2 - 49x^2) + (28x - 28x) + (49 - 4) = -45x^2 + 0 + 45 = -45x^2 + 45$

Ответ: $-45x^2 + 45$

б) $(3x + 5y)^2 - (3x - 5y)^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = 3x + 5y$ и $b = 3x - 5y$.

Найдём разность $(a - b)$:

$(3x + 5y) - (3x - 5y) = 3x + 5y - 3x + 5y = 10y$

Найдём сумму $(a + b)$:

$(3x + 5y) + (3x - 5y) = 3x + 5y + 3x - 5y = 6x$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(10y)(6x) = 60xy$

Ответ: $60xy$

в) $4(2x - 6)^2 - (4x - 12)^2$

Обратим внимание, что выражение во второй скобке можно преобразовать, вынеся общий множитель 2:

$4x - 12 = 2(2x - 6)$

Подставим это в исходное выражение:

$4(2x - 6)^2 - (2(2x - 6))^2$

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ для второго члена:

$4(2x - 6)^2 - 2^2(2x - 6)^2 = 4(2x - 6)^2 - 4(2x - 6)^2$

Мы получили разность двух одинаковых выражений, которая равна нулю.

Ответ: $0$

г) $9(4x - 3y)^2 - 16(3x - 2y)^2$

Представим коэффициенты 9 и 16 в виде квадратов: $9 = 3^2$ и $16 = 4^2$.

$3^2(4x - 3y)^2 - 4^2(3x - 2y)^2$

Используя свойство $a^n b^n = (ab)^n$, внесём коэффициенты под знак квадрата:

$(3(4x - 3y))^2 - (4(3x - 2y))^2$

Раскроем скобки внутри квадратов:

$(12x - 9y)^2 - (12x - 8y)^2$

Получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 12x - 9y$ и $b = 12x - 8y$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$a - b = (12x - 9y) - (12x - 8y) = 12x - 9y - 12x + 8y = -y$

$a + b = (12x - 9y) + (12x - 8y) = 12x - 9y + 12x - 8y = 24x - 17y$

Перемножим результаты:

$(-y)(24x - 17y) = -24xy + 17y^2$

Запишем многочлен в стандартном виде (обычно члены располагают по убыванию степени одной из переменных или в алфавитном порядке):

$17y^2 - 24xy$

Ответ: $17y^2 - 24xy$