Номер 12.24, страница 51 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.24. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:

а) $-2(a-5)^2 - 10a;$

б) $12b^2 - 6(b^2 + 1);$

в) $(m-1)(m-7) - (m-4)^2;$

г) $(3-2c)(c+1) + 2(c-7)^2;$

д) $(3a+b)(2a-5b) - 6(a-b)^2;$

е) $(2m-3n)(5m+n) - 10(m+n)^2.$

а) Чтобы представить выражение $-2(a - 5)^2 - 10a$ в виде многочлена стандартного вида, сначала воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для раскрытия скобки $(a-5)^2$:
$(a-5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$.
Теперь подставим это выражение в исходное: $-2(a^2 - 10a + 25) - 10a$.
Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член многочлена: $-2 \cdot a^2 - 2 \cdot (-10a) - 2 \cdot 25 - 10a = -2a^2 + 20a - 50 - 10a$.
Приведем подобные слагаемые: $-2a^2 + (20a - 10a) - 50 = -2a^2 + 10a - 50$.
Ответ: $-2a^2 + 10a - 50$

б) Для выражения $12b^2 - 6(b^2 + 1)$ необходимо раскрыть скобки, умножив $-6$ на каждый член в скобках:
$12b^2 - 6 \cdot b^2 - 6 \cdot 1 = 12b^2 - 6b^2 - 6$.
Теперь приведем подобные слагаемые: $(12b^2 - 6b^2) - 6 = 6b^2 - 6$.
Ответ: $6b^2 - 6$

в) Рассмотрим выражение $(m - 1)(m - 7) - (m - 4)^2$. Преобразуем его по частям. Сначала раскроем произведение двух скобок:
$(m - 1)(m - 7) = m \cdot m - 7 \cdot m - 1 \cdot m + (-1) \cdot (-7) = m^2 - 7m - m + 7 = m^2 - 8m + 7$.
Затем раскроем квадрат разности $(m - 4)^2$ по формуле: $(m - 4)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = m^2 - 8m + 16$.
Подставим оба результата в исходное выражение: $(m^2 - 8m + 7) - (m^2 - 8m + 16)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные: $m^2 - 8m + 7 - m^2 + 8m - 16$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(m^2 - m^2) + (-8m + 8m) + (7 - 16) = 0 + 0 - 9 = -9$.
Ответ: $-9$

г) Для выражения $(3 - 2c)(c + 1) + 2(c - 7)^2$ выполним преобразования по частям. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(3 - 2c)(c + 1) = 3 \cdot c + 3 \cdot 1 - 2c \cdot c - 2c \cdot 1 = 3c + 3 - 2c^2 - 2c = -2c^2 + c + 3$.
Раскроем квадрат разности $(c - 7)^2$: $(c - 7)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 7 + 7^2 = c^2 - 14c + 49$.
Подставим результаты в исходное выражение: $(-2c^2 + c + 3) + 2(c^2 - 14c + 49)$.
Раскроем вторые скобки, умножив на 2: $-2c^2 + c + 3 + 2c^2 - 28c + 98$.
Приведем подобные слагаемые: $(-2c^2 + 2c^2) + (c - 28c) + (3 + 98) = -27c + 101$.
Ответ: $-27c + 101$

д) В выражении $(3a + b)(2a - 5b) - 6(a - b)^2$ сначала раскроем скобки. Произведение первых двух скобок:
$(3a + b)(2a - 5b) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot (-5b) + b \cdot 2a + b \cdot (-5b) = 6a^2 - 15ab + 2ab - 5b^2 = 6a^2 - 13ab - 5b^2$.
Квадрат разности $(a - b)^2$: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим в исходное выражение: $(6a^2 - 13ab - 5b^2) - 6(a^2 - 2ab + b^2)$.
Раскроем скобки, умножив на $-6$: $6a^2 - 13ab - 5b^2 - 6a^2 + 12ab - 6b^2$.
Приведем подобные слагаемые: $(6a^2 - 6a^2) + (-13ab + 12ab) + (-5b^2 - 6b^2) = -ab - 11b^2$.
Ответ: $-ab - 11b^2$

е) В выражении $(2m - 3n)(5m + n) - 10(m + n)^2$ выполним раскрытие скобок. Произведение первых двух скобок:
$(2m - 3n)(5m + n) = 2m \cdot 5m + 2m \cdot n - 3n \cdot 5m - 3n \cdot n = 10m^2 + 2mn - 15mn - 3n^2 = 10m^2 - 13mn - 3n^2$.
Квадрат суммы $(m + n)^2$: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Подставим в исходное выражение: $(10m^2 - 13mn - 3n^2) - 10(m^2 + 2mn + n^2)$.
Раскроем скобки, умножив на $-10$: $10m^2 - 13mn - 3n^2 - 10m^2 - 20mn - 10n^2$.
Приведем подобные слагаемые: $(10m^2 - 10m^2) + (-13mn - 20mn) + (-3n^2 - 10n^2) = -33mn - 13n^2$.
Ответ: $-33mn - 13n^2$